Question

【题目】已知反比例函数y= 的图象经过点A（﹣ ，1）．
（1）试确定此反比例函数的解析式；
（2）点O是坐标原点，将线段OA绕O点顺时针旋转30°得到线段OB．判断点B是否在此反比例函数的图象上，并说明理由；
（3）已知点P（m， m+6）也在此反比例函数的图象上（其中m＜0），过P点作x轴的垂线，交x轴于点M．若线段PM上存在一点Q，使得△OQM的面积是 ，设Q点的纵坐标为n，求n2﹣2 n+9的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由题意得1= ，解得k=﹣ ，

∴反比例函数的解析式为y=﹣

（2）

解：过点A作x轴的垂线交x轴于点C．

在Rt△AOC中，OC= ，AC=1，

∴OA= =2，∠AOC=30°，

∵将线段OA绕O点顺时针旋转30°得到线段OB，

∴∠AOB=30°，OB=OA=2，

∴∠BOC=60°．

过点B作x轴的垂线交x轴于点D．

在Rt△BOD中，BD=OBsin∠BOD= ，OD= OB=1，

∴B点坐标为（﹣1， ），

将x=﹣1代入y=﹣ 中，得y= ，

∴点B（﹣1， ）在反比例函数y=﹣ 的图象上

（3）

解：由y=﹣ 得xy=﹣ ，

∵点P（m， m+6）在反比例函数y=﹣ 的图象上，其中m＜0，

∴m（ m+6）=﹣ ，

∴m2+2 m+1=0，

∵PQ⊥x轴，∴Q点的坐标为（m，n）．

∵△OQM的面积是 ，

∴ OMQM= ，

∵m＜0，∴mn=﹣1，

∴m2n2+2 mn2+n2=0，

∴n2﹣2 n=﹣1，

∴n2﹣2 n+9=8．

【解析】（1）由于反比例函数y= 的图象经过点A（﹣ ，1），运用待定系数法即可求出此反比例函数的解析式；（2）首先由点A的坐标，可求出OA的长度，∠AOC的大小，然后根据旋转的性质得出∠AOB=30°，OB=OA，再求出点B的坐标，进而判断点B是否在此反比例函数的图象上；（3）把点P（m， m+6）代入反比例函数的解析式，得到关于m的一元二次方程；根据题意，可得Q点的坐标为（m，n），再由△OQM的面积是 ，根据三角形的面积公式及m＜0，得出mn的值，最后将所求的代数式变形，把mn的值代入，即可求出n2﹣2 n+9的值．