Question

【题目】综合题。
（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，H分别在BC，AB上，AE与DH交于O，若AE=DH，求证：AE⊥DH；

（2）如图2，在正方形ABCD中，点H，E，G，F分别在AB，BC，CD，DA上，EF与GH交于O，若EF=HG，探究线段EF与HG的位置关系，并说明理由；

（3）如图3所示，在（2）问条件下，若HF∥GE，试探究线段FH、线段EG与线段EF的数量关系，并说明．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=DA，∠ABE=90°=∠DAH．

∴∠HAO+∠OAD=90°．

∵AE⊥DH，

∴∠ADO+∠OAD=90°．

∴∠HAO=∠ADO，

在△ABE和△DAH中 ，

∴△ABE≌△DAH（ASA），

∴AE=DH

（2）

解：EF⊥GH．

理由：如图2，将FE平移到AM处，则AM∥EF，AM=EF．

将GH平移到DN处，则DN∥GH，DN=GH．

∵EF=GH，

∴AM=DN，

在Rt△ABM和Rt△DAN中， ，

∴Rt△ABM≌Rt△DAN，

∴∠BAM=∠ADN，

∵∠DAM+∠BAM=90°，

∴∠DAM+∠ADN=90°，

∴AM⊥DN，

∴EF⊥HG

（3）

解：EG+FH= EF．理由：如图3，

过点H作HP∥FE交GE的延长线于P，

∵FH∥EG，

∴四边形EFHP是平行四边形，

∴FH=PE，HP=EF，

由（2）知，EF=HG，

∴HP=HG，

∵HP∥FE，EF⊥HG，

∴HP⊥HG，

在Rt△PHG中，根据勾股定理得，PG= HG= EF，

∵PG=EG+PE=EG+FH，

∴EG+FH= EF

【解析】（1）由正方形的性质得AB=DA，∠ABE=90°=∠DAH．所以∠HAO+∠OAD=90°，又知∠ADO+∠OAD=90°，所以∠HAO=∠ADO，于是△ABE≌△DAH，可得AE=DH；（2）将FE平移到AM处，则AM∥EF，AM=EF，将GH平移到DN处，则DN∥GH，DN=GH．再判断出Rt△ABM≌Rt△DAN，最后代换即可得出结论；（3）先构造出平行四边形EFHP，得出FH=PE，HP=EF，再用勾股定理即可得出结论．