Question

【题目】如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）和B（3，0）两点，与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点E，点D为顶点，连接BD、CD、BC．

（1）求证△BCD是直角三角形；
（2）点P为线段BD上一点，若∠PCO+∠CDB=180°，求点P的坐标；
（3）点M为抛物线上一点，作MN⊥CD，交直线CD于点N，若∠CMN=∠BDE，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把A（﹣1，0）和B（3，0）两点代入抛物线y=x2+bx+c中得：

，

解得： ，

∴抛物线的解析式为：y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，

∴C（0，﹣3），D（1，﹣4），

由勾股定理得：BC2=32+32=18，

CD2=12+（4﹣3）2=2，

BD2=（3﹣1）2+42=20，

∴CD2+BC2=BD2，

即∠BCD=90°，

∴△BCD是直角三角形

（2）

解：作PQ⊥OC于点Q，

∴∠PQC=90°，

∵∠PCO+∠CDB=180°，

∠PCO+∠PCQ=180°，

∴∠CDB=∠PCQ，

∵∠PQC=∠BCD=90°，

∴△PCQ∽△BDC，

∴ =3，

∴PQ=3CQ，

设CQ=m，则PQ=3m，

设P（3m，﹣3﹣m），

设直线BD的解析式为：y=kx+b，

把B（3，0）、D（1，﹣4）代入得： ，

解得： ，

∴直线BD的解析式为：y=2x﹣6，

将点P的坐标代入直线BD：y=2x﹣6得：

﹣3﹣m=2×3m﹣6，

m= ，

∴3m= ，﹣3﹣m=﹣3﹣ =﹣ ，

∴P（ ，﹣ ）；

（3）

解：∵∠CMN=∠BDE，

∴tan∠BDE=tan∠CMN= = ，

∴ ，

同理可求得：CD的解析式为：y=﹣x﹣3，

设N（a，﹣a﹣3），M（x，x2﹣2x﹣3），

①如图2，过N作GF∥y轴，过M作MG⊥GF于G，过C作CF⊥GF于F，

则△MGN∽△NFC，

∴ = ，

∴ =2，

则 ，

∴x1=0（舍），x2=5，

当x=5时，x2﹣2x﹣3=12，

∴M（5，12），

②如图3，过N作FG∥x轴，交y轴于F，过M作MG⊥GF于G，

∴△CFN∽△NGM，

∴ = ，

∴ = = ，

则 ，

∴x1=0（舍），x2= ，

当x= 时，y=x2﹣2x﹣3=﹣ ，

∴M（ ，﹣ ），

综上所述，点M的坐标（5，12）或（ ，﹣ ）．

【解析】（1）先利用待定系数法求二次函数的解析式，并配方成顶点式求顶点D的坐标，和与y轴的交点C的坐标，由勾股定理计算△BDC三边的平方，利用勾股定理的逆定理证明△BCD是直角三角形；（2）作辅助线，构建直角三角形PCQ与直角三角形BDC相似，根据比例式表示出点P的坐标，利用待定系数法求直线BD的解析式，因为点P为线段BD上一点，代入直线BD的解析式列方程可求出点P的坐标；（3）同理求直线CD的解析式为：y=﹣x﹣3，由此表示点N的坐标为（a，﹣a﹣3），因为M在抛物线上，所以设M（x，x2﹣2x﹣3），根据同角的三角函数得：tan∠BDE=tan∠CMN= ，则 ，
如图2，证明△MGN∽△NFC，列比例式可得方程组解出即可；
如图3，证明△CFN∽△NGM，列比例式可得方程组解出即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数的性质的相关知识，掌握增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．