Question

【题目】如图1，直线分别交x轴、y轴于A、B两点，点P是线段AB上的一动点，以P为圆心，r为半径画圆．

（1）若点P的横坐标为﹣3，当⊙P与x轴相切时，则半径r为 ，此时⊙P与y轴的位置关系是 .（直接写结果）

（2）若，当⊙P与坐标轴有且只有3个公共点时，求点P的坐标.

（3）如图2，当圆心P与A重合，时，设点C为⊙P上的一个动点，连接OC，将线段OC绕点O顺时针旋转90°，得到线段OD，连接AD，求AD长的最值并直接写出对应的点D的坐标．

Answer 1

【答案】（1），相离，（2）P或P；（3）当点D在线段AB上时，AD最小值为，点D坐标为，当点D在线段AB的延长线上时，AD最大值为，点D坐标为

【解析】

（1）根据坐标轴上点的坐标特征求出A点和B点的坐标，根据相似三角形的性质解答；

（2）根据直线与圆的位置关系解答；

（3）连接AC，BD，证明△AOC≌△BOD，求出BD的长，得到AD最长或最短距离，根据直角三角形的性质求出点D的坐标．

（1）当x=0时,y=4, 当y=0时，x=-4，

∴A点的坐标为(-4,0),B点的坐标为(0,4)，

点N为⊙P与x轴的切点，连接PN，

则PN∥OB，

∴,即，

解得，PN=1，

x+4=1，

解得，x=3，

∵3>1，

∴⊙P与y轴的位置关系是相离，

故答案为：1；相离；

（2）当r=，⊙P与x轴相切时，

由=x+4,得x=，

则⊙P与y轴相交,

此时点P的坐标为(,)，

当r=，⊙P与y轴相切时，

由y=+4=，

则P与x轴相交，

此时点P的坐标为(-，)；

（3）连接AC、BD,

∵∠COD=∠AOB=90°

∴∠COA=∠DOB

易证△AOC≌△BOD

∴BD=AC=2

∴点D的运动轨迹是以点B为圆心，2为半径的圆，

当点D在线段AB上时，AD最小值为，点D坐标为 ；

当点D在线段AB的延长线上时，AD最大值为，点D坐标为 .