Question

【题目】如图，在Rt中，∠C=90°，AC=BC，在线段CB延长线上取一点P,以AP为直角边，点P为直角顶点，在射线CB上方作等腰 Rt, 过点D作DE⊥CB,垂足为点E．

（1） 依题意补全图形；

（2） 求证： AC=PE；

（3） 连接DB，并延长交AC的延长线于点F，用等式表示线段CF与AC的数量关系，并证明．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）AC=CF，见解析

【解析】

（1）根据描述作出图形；

（2）先证明△ACP≌△DEP，根据全等的性质即可得出结论；

（3）根据（2）中全等得出PC=DE，再由线段间的转化可得出PC=BE，故可得出△DBE为等腰直角三角形，从而△BCF也为等腰直角三角形，结论得证.

解：（1）依题意补全图形；

（2） 证明：∵DE⊥CB, ∠C=90°，

∴∠DEP=∠C =90°，

∴∠3+∠2=90°，

又∵∠APD =90°，

∴∠1+∠2=90°，

∴∠1=∠3，

又∵AP=DP，

∴△ACP≌△PED （AAS），

∴AC=PE.

（3） 线段CF与AC的数量关系是CF=AC.

∵△ACP≌△PED，

∴PC=DE，

又∵AC=BC，

∴BC=PE， ∴PC=BE,

∴BE=DE，

即△DBE为等腰直角三角形，

易证△BCF为等腰直角三角形，

∴BC=CF，

∴AC=CF .