Question

【题目】已知三个全等的等边三角形如图1所示放置，其中点B、C、E在同一直线上，

（1）写出两个不同类型的结论；

（2）连接BD，P为BD上的动点（D点除外），DP绕点D逆时针旋转60到DQ，如图2，连接PC，QE，

①判断CP与QE的大小关系，并说明理由；

②若等边三角形的边长为2，连接AP，在BD上是否存在点P，使AP+CP+DP的值最小，并求最小值．

Answer 1

【答案】（1）答案见解析；（2）①CP＝QE，理由见解析；②存在，AP+CP+DP的最小值为

【解析】解：（1）答案不唯一，合理即可，

如AD∥BE，四边形ABCD、ACED是菱形；

四边形ABED是等腰梯形；四边形ABED是轴对称图形；

（2）①CP＝QE；理由：

∵△AEC是等边三角形，

∴CD=DE，∠CDE＝60，

∵DP绕点D逆时针旋转60到DQ，

∴PD=DQ，∠PDQ＝60，

∴∠PDQ＝∠QDE，

∴△DPC≌△DQE

∴CP＝QE。

②连接AP，由①可知CP＝QE，

∵DP绕点D逆时针旋转60到DQ，

∴△DPQ是等边三角形，

∴DP=DQ，

要使AP+CP+DP的值最小，关键是AP+QE+QP的值最小，即点A、P、Q、E在同一直线上（AE），构建两点之间，线段最短，过点A作AM⊥BE于点M，可得BM＝1，EM＝3，AM＝，

所以AE＝，

故在BD上存在点P，故AP+CP+DP的值最小，最小值是．