Question

【题目】如图，正方形OABC的边OA，OC在坐标轴上，点B的坐标为（﹣3，3）．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向点O运动；点Q从点O同时出发，以相同的速度沿x轴的正方向运动，规定点P到达点O时，点Q也停止运动．连接BP，过P点作BP的垂线，与过点Q平行于y轴的直线l相交于点D．BD与y轴交于点E，连接PE．设点P运动的时间为t（s）．

（1）求∠EBP的度数；

（2）求点D运动路径的长；

（3）探索△POE周长是否随时间t的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，试求这个定值．

Answer 1

【答案】（1）∠PBD =45°．

（2）点D运动路径的长为t；

（3）△POE周长是定值，该定值为6．

【解析】

试题分析：（1）易证△BAP≌△PQD，从而得到BP=PD，由∠BPD=90°，从而可以求出∠PBE的度数；

（2）由△BAP≌△PQD，从而得到DQ=AP=t；

（2）由于∠EBP=45°，故图1是以正方形为背景的一个基本图形，容易得到EP=AP+CE．容易得到△POE周长等于AO+CO=8，从而解决问题；

解：（1）如图，由题可得：AP=OQ=1×t=t（秒）

∴AO=PQ

∵四边形OABC是正方形，

∴AO=AB=BC=OC，

∠BAO=∠AOC=∠OCB=∠ABC=90°．

∵DP⊥BP，

∴∠BPD=90°．

∴∠BPA=90°﹣∠DPQ=∠PDQ．

∵AO=PQ，AO=AB，

∴AB=PQ．

在△BAP和△PQD中，

∴△BAP≌△PQD（AAS）．

∴BP=PD．

∵∠BPD=90°，BP=PD，

∴∠PBD=∠PDB=45°．

（2）∵△BAP≌△PQD，

∴DQ=AP，

∵AP=t，

∴DQ=t．

∴点D运动路径的长为t；

（3）∵∠EBP=45°

∴由图1可以得到EP=CE+AP，

∴OP+PE+OE=OP+AP+CE+OE

=AO+CO

=3+3

=6．

∴△POE周长是定值，该定值为6．