Question

【题目】如图，已知AB是⊙O的直径，P为⊙O外一点，且OP∥BC，∠P=∠BAC．
（1）求证：PA为⊙O的切线；
（2）若OB=5，OP= ，求AC的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠BAC+∠B=90°．

又∵OP∥BC，

∴∠AOP=∠B，

∴∠BAC+∠AOP=90°．

∵∠P=∠BAC．

∴∠P+∠AOP=90°，

∴由三角形内角和定理知∠PAO=90°，即OA⊥AP．

又∵OA是的⊙O的半径，

∴PA为⊙O的切线

（2）解：由（1）知，∠PAO=90°．∵OB=5，

∴OA=OB=5．

又∵OP= ，

∴在直角△APO中，根据勾股定理知PA= = ，

由（1）知，∠ACB=∠PAO=90°．

∵∠BAC=∠P，

∴△ABC∽△POA，

∴ = ．

∴ = ，

解得AC=8．即AC的长度为8

【解析】（1）欲证明PA为⊙O的切线，只需证明OA⊥AP；（2）通过相似三角形△ABC∽△PAO的对应边成比例来求线段AC的长度．