Question

【题目】在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O、A、C的坐标分别为O（0，0），A（﹣x，0），C（0，y），且x、y满足．

（1）矩形的顶点B的坐标是　 ．

（2）若D是AB中点，沿DO折叠矩形OABC，使A点落在点E处，折痕为DO，连BE并延长BE交y轴于Q点．

①求证：四边形DBOQ是平行四边形．

②求△OEQ面积．

（3）如图2，在（2）的条件下，若R在线段AB上，AR＝4，P是AB左侧一动点，且∠RPA＝135°，求QP的最大值是多少？

Answer 1

【答案】（1）点B（﹣4，6）；（2）①见解析；②S△EOQ＝；（3）PQ的最大值为2+

【解析】

（1）由题意可求x=4，y=6，即可求点B坐标；

（2）①由折叠性质可得AD=DE，∠ADO=∠ODE，由三角形外角性质可得∠ADO=∠DBE，可得OD∥BQ，即可证四边形BDOQ是平行四边形；②由题意可证△BFD∽△QCB，可得，可求,，由S△EOQ=SBDOQ-S△DEO-S△BDE可得△OEQ面积；

（3）连接RO，以RO为直径作圆H，作HF⊥OQ于点F，由题意可得点A，点P，点R，点O四点共圆，即点P在以点H为圆心，RO为直径的圆上，则点P，点H，点Q三点共线时，PQ值最大，由勾股定理可求,即可求QP的最大值．

解：（1）∵x﹣4≥0，4﹣x≥0

∴x＝4，

∴y＝6

∴点A（﹣4，0），点C（0，6）

∴点B（﹣4，6）

故答案为（﹣4，6）

（2）①∵D是AB中点，

∴AD＝BD

∵折叠

∴AD＝DE，∠ADO＝∠ODE

∴∠DBE＝∠DEB

∵∠ADE＝∠DBE+∠DEB

∴∠ADO+∠ODE＝∠DBE+∠DEB

∴∠ADO＝∠DBE

∴OD∥BQ，且AB∥OC

∴四边形BDOQ是平行四边形，

②如图，过点D作DF⊥BQ于点F，

∵AD＝3，AO＝4

∴DO＝＝5

∵四边形BDOQ是平行四边形，

∴BD＝OQ＝3，BQ＝DO＝5，

∴CQ＝CO﹣OQ＝3

∵AB∥CO

∴∠ABQ＝∠BQC，且∠BFD＝∠BCQ＝90°

∴△BFD∽△QCB

∴

∵DE＝BD，DF⊥BQ

，

∴SBDOQ＝12

∴S△EOQ＝SBDOQ﹣S△DEO﹣S△BDE＝

（3）如图，连接RO，以RO为直径作圆H，作HF⊥OQ于点F，

∵RA＝4＝AO

∴∠AOR＝∠ARO＝45°，RO＝

∵∠APR+∠AOR＝135°+45°＝180°

∴点A，点P，点R，点O四点共圆

∴点P在以点H为圆心，RO为直径的圆上，

∴点P，点H，点Q三点共线时，PQ值最大，

∵∠HOF＝45°，HF⊥OQ，

∴∠FHO＝∠HOF＝45°，且OH＝

∴HF＝OF＝2，

∴QF＝OQ﹣OF＝3﹣2＝1

∴HQ＝

∴PQ的最大值为.