Question

【题目】如图，四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，且AC=2，BD=2，各边 中点分别为A1、B1、C1、D1，顺次连接得到四边形A1B1C1D1，再取各边中点A2、B2、C2、D2，顺次连接得到四边形A2B2C2D2，…，依此类推，这样得到四边形AnBnCnDn，则四边形AnBnCnDn的面积为_________

Answer 1

【答案】

【解析】根据三角形的面积公式，可以求得四边形ABCD的面积是16；根据三角形的中位线定理，得A1B1∥AC，A1B1=AC，则△BA1B1∽△BAC，得△BA1B1和△BAC的面积比是相似比的平方，即，因此四边形A1B1C1D1的面积是四边形ABCD的面积的，即a2；推而广之，则AC=2，BD=2，四边形AnBnCnDn的面积=．

解：∵四边形A1B1C1D1的四个顶点A1、B1、C1、D1分别为AB、BC、CD、DA的中点，

∴A1B1∥AC，A1B1=AC．

∴△BA1B1∽△BAC．

∴△BA1B1和△BAC的面积比是相似比的平方，即．

又四边形ABCD的对角线AC=2，BD=2，AC⊥BD，

∴四边形ABCD的面积是2．

推而广之，则AC=2，BD=2，四边形AnBnCnDn的面积=．

“点睛”此题综合运用了三角形的中位线定理、相似三角形的判定及性质．注意：对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半．