Question

【题目】如图1，在△ABC中，设∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c，过点A作AD⊥BC，垂足为D，会有sin∠C= ，则
S△ABC= BC×AD= ×BC×ACsin∠C= absin∠C，
即S△ABC= absin∠C
同理S△ABC= bcsin∠A
S△ABC= acsin∠B
通过推理还可以得到另一个表达三角形边角关系的定理﹣余弦定理：
如图2，在△ABC中，若∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c，则
a2=b2+c2﹣2bccos∠A
b2=a2+c2﹣2accos∠B
c2=a2+b2﹣2abcos∠C

用上面的三角形面积公式和余弦定理解决问题：
（1）如图3，在△DEF中，∠F=60°，∠D、∠E的对边分别是3和8．求S△DEF和DE2 ．

解：S△DEF= EF×DFsin∠F=；
DE2=EF2+DF2﹣2EF×DFcos∠F= ．
（2）如图4，在△ABC中，已知AC＞BC，∠C=60°，△ABC'、△BCA'、△ACB'分别是以AB、BC、AC为边长的等边三角形，设△ABC、△ABC'、△BCA'、△ACB'的面积分别为S1、S2、S3、S4 ， 求证：S1+S2=S3+S4 ．

Answer 1

【答案】
（1）6 ；49
（2）

证明：方法1，∵∠ACB=60°，

∴AB2=AC2+BC2﹣2ACBCcos60°=AC2+BC2﹣ACBC，

两边同时乘以 sin60°得， AB2sin60°= AC2sin60°+ BC2sin60°﹣ ACBCsin60°，

∵△ABC'，△BCA'，△ACB'是等边三角形，

∴S1= ACBCsin60°，S2= AB2sin60°，S3= BC2sin60°，S4= AC2sin60°，

∴S2=S4+S3﹣S1，

∴S1+S2=S3+S4，

方法2、令∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，

∴S1= absin∠C= absin60°= ab

∵△ABC'，△BCA'，△ACB'是等边三角形，

∴S2= ccsin60°= c2，S3= aasin60°= a2，S4= bbsin60°= b2，

∴S1+S2= （ab+c2），S3+S4= （a2+b2），

∵c2=a2+b2﹣2abcos∠C=a2+b2﹣2abcos60°，

∴a2+b=c2+ab，

∴S1+S2=S3+S4

【解析】解：（1）在△DEF中，∠F=60°，∠D、∠E的对边分别是3和8，
∴EF=3，DF=8，
∴S△DEF= EF×DFsin∠F= ×3×8×sin60°=6 ，
DE2=EF2+DF2﹣2EF×DFcos∠F=32+82﹣2×3×8×cos60°=49，
所以答案是：6 ，49；
【考点精析】掌握同角三角函数的关系（倒数、平方和商）是解答本题的根本，需要知道各锐角三角函数之间的关系：平方关系（sin2A+cos2A=1）；倒数关系（tanAtan(90°—A)=1）；弦切关系（tanA=sinA/cosA ）．