Question

【题目】如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点D，点B的坐标为（3，0），顶点C的坐标为（1，4）．

（1）求二次函数的解析式和直线BD的解析式；
（2）点P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限时，求线段PM长度的最大值；
（3）在抛物线上是否存在异于B、D的点Q，使△BDQ中BD边上的高为2 ？若存在求出点Q的坐标；若不存在请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵抛物线的顶点C的坐标为（1，4），

∴可设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+4，

∵点B（3，0）在该抛物线的图象上，

∴0=a（3﹣1）2+4，解得a=﹣1，

∴抛物线解析式为y=﹣（x﹣1）2+4，即y=﹣x2+2x+3，

∵点D在y轴上，令x=0可得y=3，

∴D点坐标为（0，3），

∴可设直线BD解析式为y=kx+3，

把B点坐标代入可得3k+3=0，解得k=﹣1，

∴直线BD解析式为y=﹣x+3

（2）

解：设P点横坐标为m（m＞0），则P（m，﹣m+3），M（m，﹣m2+2m+3），

∴PM=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m=﹣（m﹣ ）2+ ，

∴当m= 时，PM有最大值

（3）

解：如图，过Q作QG∥y轴交BD于点G，交x轴于点E，作QH⊥BD于H，

设Q（x，﹣x2+2x+3），则G（x，﹣x+3），

∴QG=|﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）|=|﹣x2+3x|，

∵△BOD是等腰直角三角形，

∴∠DBO=45°，

∴∠HGQ=∠BGE=45°，

当△BDQ中BD边上的高为2 时，即QH=HG=2 ，

∴QG= ×2 =4，

∴|﹣x2+3x|=4，

当﹣x2+3x=4时，△=9﹣16＜0，方程无实数根，

当﹣x2+3x=﹣4时，解得x=﹣1或x=4，

∴Q（﹣1，0）或（4，﹣5），

综上可知存在满足条件的点Q，其坐标为（﹣1，0）或（4，﹣5）

【解析】（1）可设抛物线解析式为顶点式，由B点坐标可求得抛物线的解析式，则可求得D点坐标，利用待定系数法可求得直线BD解析式；（2）设出P点坐标，从而可表示出PM的长度，利用二次函数的性质可求得其最大值；（3）过Q作QG∥y轴，交BD于点G，过Q和QH⊥BD于H，可设出Q点坐标，表示出QG的长度，由条件可证得△DHG为等腰直角三角形，则可得到关于Q点坐标的方程，可求得Q点坐标．