Question

【题目】我们定义：在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角度数的3倍，那么这样的三角形我们称之为“和谐三角形”．如：三个内角分别为105°，40°，35°的三角形是“和谐三角形”

概念理解：如图1，∠MON＝60°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（点C不与O，B重合）

（1）∠ABO的度数为　 　，△AOB　 　（填“是”或“不是”）“和谐三角形”；

（2）若∠ACB＝80°，求证：△AOC是“和谐三角形”．

应用拓展：如图2，点D在△ABC的边AB上，连接DC，作∠ADC的平分线交AC于点E，在DC上取点F，使∠EFC+∠BDC＝180°，∠DEF＝∠B．若△BCD是“和谐三角形”，求∠B的度数．

Answer 1

【答案】概念理解：（1）30°，是；（2）见解析；应用拓展：∠B＝36°或∠B＝．

【解析】

（1）根据垂直的定义、三角形内角和定理求出∠ABO的度数，根据“和谐三角形”的概念判断；

（2）根据“和谐三角形”的概念证明即可；

应用拓展：根据比较的性质得到∠EFC＝∠ADC，根据平行线的性质得到∠DEF＝∠ADE，推出DE∥BC，得到∠CDE＝∠BCD，根据角平分线的定义得到∠ADE＝∠CDE，求得∠B＝∠BCD，根据“和谐三角形”的定义求解即可．

解：（1）∵AB⊥OM，

∴∠OAB＝90°，

∴∠ABO＝90°﹣∠MON＝30°，

∵∠OAB＝3∠ABO，

∴△AOB为“和谐三角形”，

故答案为：30；是；

（2）证明：∵∠MON＝60°，∠ACB＝80°，

∵∠ACB＝∠OAC+∠MON，

∴∠OAC＝80°﹣60°＝20°，

∵∠AOB＝60°＝3×20°＝3∠OAC，

∴△AOC是“和谐三角形”；

应用拓展：

∵∠EFC+∠BDC＝180°，∠ADC+∠BDC＝180°，

∴∠EFC＝∠ADC，

∴AD∥EF，

∴∠DEF＝∠ADE，

∵∠DEF＝∠B，

∴∠B＝∠ADE，

∴DE∥BC，

∴∠CDE＝∠BCD，

∵AE平分∠ADC，

∴∠ADE＝∠CDE，

∴∠B＝∠BCD，

∵△BCD是“和谐三角形”，

∴∠BDC＝3∠B，或∠B＝3∠BDC，

∵∠BDC+∠BCD+∠B＝180°，

∴∠B＝36°或∠B＝．