Question

【题目】猜想：如图①，在ABCD中，点O是对角线AC的中点，过点O的直线分别交AD、BC于点E、F．若ABCD的面积是10，则四边形CDEF的面积是 ．

探究：如图②，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线分别交AD、BC于点E、F．若AC=4，BD=8，求四边形ABFE的面积．

应用：如图③，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，延长BC到点D，使DC=BC，连结AD．若AC=4，，则△ABD的面积是 ．

Answer 1

【答案】5；8；12

【解析】

试题分析：猜想：首先根据平行四边形的性质可得AD∥BC，OA=OC．根据平行线的性质可得∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO，进而可根据AAS定理证明△AEO≌△CFO，再根据全等三角形的性质可得结论；

探究：根据菱形的性质得到AD∥BC，AO=CO，BO=BD=4，根据全等三角形的判定定理得到△AOE≌△COF，由于AC⊥BD，于是得到结果；

应用：延长AC到E使CE=AC=4，根据全等三角形的判定定理得到△ABC≌△CDE，由全等三角形的性质得到∠E=∠BAC=90°，根据勾股定理得到DE==3，即可得到结论．

试题解析：猜想：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，OA=OC．

∴∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO，

在△AOE和△COF中，

，

∴△AEO≌△CFO，

∴四边形CDEF的面积=S△ACD=ABCD的面积=5；

探究：∵四边形ABCD是菱形，

∴AD∥BC，AO=CO，BO=BD=4，

∴∠OAE=∠OCF，∠OEA=∠OFC，

在△AOE于△COF中，，

∴△AOE≌△COF，

∵AC⊥BD，

∴．

应用：延长AC到E使CE=AC=4，

在△ABC与△CDE中，，

∴△ABC≌△CDE，

∴∠E=∠BAC=90°，

∴DE==3，

∴S△ABD=S△ADE=AEDE=×8×3=12．