Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+4与x轴、y轴分别交于点A、B．抛物线的顶点P在直线y=﹣x+4上，与y轴交于点C（点P、C不与点B重合），以BC为边作矩形BCDE，且CD=2，点P、D在y轴的同侧．

（1）n= （用含m的代数式表示），点C的纵坐标是 （用含m的代数式表示）．

（2）当点P在矩形BCDE的边DE上，且在第一象限时，求抛物线对应的函数表达式．

（3）设矩形BCDE的周长为d（d＞0），求d与m之间的函数表达式．

（4）直接写出矩形BCDE有两个顶点落在抛物线上时m的值．

Answer 1

【答案】（1）﹣m+4，﹣m2﹣m+4；（2）（3），（4）m=1、m=﹣1、、

【解析】

试题分析：（1）根据二次函数的解析式写出顶点P的坐标（m，n），又因为点p在直线y=﹣x+4上，将p点坐标代入可求出n，将二次函数化成一般式后得出点C的纵坐标，并将其化成含m的代数式；

（2）当点P在矩形BCDE的边DE上，且在第一象限时，由CD=2可知，点P的横坐标为2，可求得纵坐标为2，则P（2，2），得出抛物线对应的函数表达式；

（3）根据坐标表示出边BC的长，由矩形周长公式表示出d；

（4）首先点B与C不能重合，因此点B不会在抛物线上，则分两类情况讨论：①点C、D在抛物线上时；②点C、E在抛物线上时；由（1）的结论计算出m的值．

试题解析：（1）y=﹣（x﹣m）2+n=﹣x2+mx﹣m2+n，

∴P（m，n），

∵点P在直线y=﹣x+4上，

∴n=﹣m+4，

当x=0时，y=﹣m2+n=﹣m2﹣m+4，

即点C的纵坐标为：﹣ m2﹣m+4，

故答案为：﹣m+4，﹣ m2﹣m+4；

（2）∵四边形BCDE是矩形，

∴DE∥y轴．

∵CD=2，

∴当x=2时，y=2．

∴DE与AB的交点坐标为（2，2）．

∴当点P在矩形BCDE的边DE上时，抛物线的顶点P坐标为（2，2）．

∴抛物线对应的函数表达式为．

（3）∵直线y=﹣x+4与y轴交于点B，

∴点B的坐标是（0，4）．

当点B与点C重合时，．

解得m1=0，m2=﹣3．

i）当m＜﹣3或m＞0时，如图①、②，

．．

ii）当﹣3＜m＜0时，如图③，．

．

（4）如图④⑤，点C、D在抛物线上时，由CD=2可知对称轴为：x=±1，即m=±1；

如图⑥⑦，点C、E在抛物线上时，由B（0，4）和CD=2得：E（﹣2，4）

则4=﹣（﹣2﹣m）2+（﹣m+4），解得：、．

综上所述：m=1、m=﹣1、、．