Question

【题目】如图，点P是正方形ABCD内的一点，连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转90°，得到线段CQ，连接BP，DQ．

（1）如图a，求证：△BCP≌△DCQ；

（2）如图，延长BP交直线DQ于点E．

① 如图b，求证：BE⊥DQ；

② 如图c，若△BCP为等边三角形，判断△DEP的形状，并说明理由；

③ 若正方形ABCD的边长为10，DE=2,PB=PC,直接写出线段PB的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②△DEP为等腰直角三角形，证明见解析；③PB=或

【解析】（1）由旋转的性质得到∠BCP=∠DCQ，即可证明△BCP≌△DCQ；

（2）①由全等的性质和对顶角相等即可得到答案；

②由等边三角形的性质和旋转的性质求出∠EPD=45°，∠EDP=45°，即可判断△DEP的形状．

③由（1）结论，根据等腰三角形三线合一性质和相似三角形性质及勾股定理可得.

(1):如图a

证明：∵∠BCD=90°，∠PCQ=90°，

∴∠BCP=∠DCQ，

在△BCP和△DCQ中，

，

∴△BCP≌△DCQ

（2）①如图b，∵△BCP≌△DCQ，

∴∠CBF=∠EDF，又∠BFC=∠DFE，

∴∠DEF=∠BCF=90°，

∴BE⊥DQ；

②△DEP为等腰直角三角形

∵△BCP为等边三角形，

∴∠BCP=60°，∴∠PCD=30°，又CP=CD，

∴∠CPDF=∠CDP=75°，又∠BPC=60°，∠CDQ=60°，

∴∠EPD=45°，∠EDP=45°，

∴△DEP为等腰直角三角形．

③PB= 或