Question

【题目】如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C，BD平分∠ABF，且交AE于点D，连接CD．

（1）求证：四边形ABCD是菱形；

（2）若∠ADB＝30°，BD＝12，求AD的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）由平行线的性质和角平分线定义得出∠ABD＝∠ADB，证出AB＝AD，同理：AB＝BC，得出AD＝BC，证出四边形ABCD是平行四边形，即可得出结论；

（2）由菱形的性质得出AC⊥BD，OD＝OB＝BD＝6，再由三角函数即可得出AD的长．

证明：（1）∵AE∥BF，

∴∠ADB＝∠CBD，

又∵BD平分∠ABF，

∴∠ABD＝∠CBD，

∴∠ABD＝∠ADB，

∴AB＝AD，

同理：AB＝BC，

∴AD＝BC，

∴四边形ABCD是平行四边形，

又∵AB＝AD，

∴四边形ABCD是菱形；

（2）∵四边形ABCD是菱形，BD＝12，

∴AC⊥BD，OD＝OB＝BD＝6，

∵∠ADB＝30°，

∴cos∠ADB＝，

∴．