Question

【题目】已知∠MON=90°，有一根长为10的木棒AB的两个端点A、B分别在射线OM,ON上滑动，∠OAB的角平分线AD交OB于点D.

（1）如图（1），若OA=6，则OB= ，OD= ；

（2）如图（2），过点B作BE⊥AD,交AD的延长线于点E,连接OE,在AB滑动的过程中，线段OE,BE有何数量关系，并说明理由；

（3）若点P是∠MON内部一点，在（1）的条件下，当△ABP是以AB为斜边的等腰直角三角形时，OP2= ；

（4）在AB滑动的过程中，△AOB面积的最大值为 .

·图（1） 图（2） 备用图

Answer 1

【答案】（1）8；3；（2）相等；(3)98;(4)25.

【解析】试题分析：（1）由勾股定理得到OB的长．由角平分线性质得到OD的长；

（2）延长BE交AO的延长线于F点．证明△BAE≌△FAE，得到BE=EF．

再由直角三角形斜边上的直线等于斜边的一半即可得到结论．

（3）过P作PE⊥OB于E，PF⊥OM于F．则△PFA≌△PEB，FOEP是正方形，设OE=x，则PE=x，EB=8-x，MA=x-6，由8-x=x-6，解方程得到x的值，在Rt△OEP中，由勾股定理即可得到结论；

（4）设OA=x，OB=y，面积为S，则S= ， ，由 ，得到 ，故 ，从而有S= ≤25，即可得到结论．

试题解析：解：（1）∵AB=10，AO=6，∴OB= 8．∵AD平分∠OAB，∴OA：AB=OD：DB，∴6：10=OD：（8-OD），解得： OD=3；

（2）相等 ．理由如下：

延长BE交AO的延长线于F点．∵AE是∠BAO的角平分线，∴∠BAE=∠FAE．

∵BE⊥AD，∴∠AEF=∠AEB=90°．∵AE=AE，∴△BAE≌△FAE，∴BE=EF．

在Rt△BOF中， ∠BOF=90°，∴OE=BE．

（3）过P作PE⊥OB于E，PF⊥OM于F．∵AP=BP，∠APB=90°，∴AP=BP= AB=.∵∠PFO=∠PEO=∠BOA=90°，∴∠EPF=90°，∴∠FPA=∠EPB．在△PFA和△PEB中，∵∠FPA=∠EPB，∠PFA=∠PEB，PA=PB，∴△PFA≌△PEB，∴PF=PE，FA=EB，∴FOEP是正方形，∴PF=OE=PE=FO，设OE=x，则PE=x，EB=8-x，MA=x-6，∴8-x=x-6，解得：x=7，在Rt△OEP中， ==98；

（4）解：设OA=x，OB=y，面积为S，则S= ， ，∵ ，∴ ，∴ ，∴xy≤50，∴S= ≤25．∴△AOB面积的最大值为25．