Question

【题目】已知抛物线与x轴交于A（6，0）、B（﹣ ，0）两点，与y轴交于点C，过抛物线上点M（1，3）作MN⊥x轴于点N，连接OM．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）如图1，将△OMN沿x轴向右平移t个单位（0≤t≤5）到△O′M′N′的位置，MN′、M′O′与直线AC分别交于点E、F．
①当点F为M′O′的中点时，求t的值；
②如图2，若直线M′N′与抛物线相交于点G，过点G作GH∥M′O′交AC于点H，试确定线段EH是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此时t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：设抛物线解析式为y=a（x﹣6）（x+ ），把点M（1，3）代入得a=﹣ ，

∴抛物线解析式为y=﹣ （x﹣6）（x+ ），

∴y=﹣ x2+ x+2．

（2）

解：①如图1中，AC与OM交于点G．连接EO′．

∵AO=6，OC=2，MN=3，ON=1，

∴ =3，

∴ ，∵∠AOC=∠MON=90°，

∴△AOC∽△MNO，

∴∠OAC=∠NMO，

∵∠NMO+∠MON=90°，

∴∠MON+∠OAC=90°，

∴∠AGO=90°，

∴OM⊥AC，

∵△M′N′O′是由△MNO平移所得，

∴O′M′∥OM，

∴O′M′⊥AC，

∵M′F=FO′，

∴EM′=EO′，

∵EN′∥CO，

∴ ，

∴ ，

∴EN′= （5﹣t），

在RT△EO′M′中，∵O′N′=1，EN′= （5﹣t），EO′=EM′= + t，

∴（ + t）2=1+（ ﹣ t）2，

∴t=1．

②如图2中，

∵GH∥O′M′，O′M′⊥AC，

∴GH⊥AC，

∴∠GHE=90°，

∵∠EGH+∠HEG=90°，∠AEN′+∠OAC=90°，∠HEG=∠AEN′，

∴∠OAC=∠HGE，∵∠GHE=∠AOC=90°，

∴△GHE∽△AOC，

∴ = ，

∴EG最大时，EH最大，

∵EG=GN′﹣EN′=﹣ （t+1）2+ （t+1）+2﹣ （5﹣t）=﹣ t2+ t+ =﹣ （t﹣2）2+ ．

∴t=2时，EG最大值= ，

∴EH最大值= ．

∴t=2时，EH最大值为 ．

【解析】（1）设抛物线解析式为y=a（x﹣6）（x+ ），把点M（1，3）代入即可求出a，进而解决问题．
（2）①如图1中，AC与OM交于点G．连接EO′，首先证明△AOC∽△MNO，推出OM⊥AC，在RT△EO′M′中，利用勾股定理列出方程即可解决问题． ②由△GHE∽△AOC得 = = ，所以EG最大时，EH最大，构建二次函数求出EG的最大值即可解决问题．本题考查二次函数综合题、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是发现OM⊥CA，学会利用转化的思想解决问题，学会构建二次函数解决最值问题，属于中考压轴题．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用抛物线与坐标轴的交点的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点．当b2-4ac>0时，图像与x轴有两个交点；当b2-4ac=0时，图像与x轴有一个交点；当b2-4ac<0时，图像与x轴没有交点．