Question

【题目】如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．

（1）求证：EO=FO；

（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．

（3）当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）运动到AC的中点时；（3）运动到AC的中点时，且△ABC满足∠ACB为直角的直角三角形时

【解析】试题解析：（1）根据平行线性质和角平分线性质及，由平行线所夹的内错角相等易证；

（2）当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形，根据矩形的判定方法，即一个角是直角的平行四边形是矩形可证．

（3））由OE=OF，OA=OC可判断四边形AECF为平行四边形，再证明∠ECF=90°，则可判断四边形AECF为矩形，根据正方形的判定方法，当∠2=45°时，四边形AECF为正方形，于是可得∠ACB=90°．

试题解析：（1）证明：∵CE平分∠ACB，

∴∠1=∠2，

又∵MN∥BC，

∴∠1=∠3，

∴∠3=∠2，

∴EO=CO，

同理，FO=CO，

∴EO=FO；

（2）解：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．

理由如下：

∵EO=FO，点O是AC的中点．

∴四边形AECF是平行四边形，

∵CF平分∠BCA的外角，

∴∠4=∠5，

又∵∠1=∠2，

∴∠2+∠4=×180°=90°．

即∠ECF=90度，

∴四边形AECF是矩形．

（3）∵OE=OF，OA=OC，

∴四边形AECF为平行四边形，

∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACB的外角，

∴∠ECF=90°，

∴四边形AECF为矩形，

当∠2=45°时，四边形AECF为正方形，

此时∠ACB=90°，

即当点O是AC的中点，△ABC中∠ACB=90°时，四边形AECF是正方形．