Question

【题目】如图，抛物线y=﹣x2+2x的顶点为M，与x轴交于0，A两点，点P（a，0）是线段0A上一动点（不包括端点），过点P作y轴的平行线，交直线y=x于点B，交抛物线于点C，以BC为一边，在BC的右侧作矩形BCDE，若CD=2，则当矩形BCDE与△OAM重叠部分为轴对称图形时，a的取值范围是__．

Answer 1

【答案】或或＜a≤5．

【解析】∵y=﹣x2+2x=﹣（x﹣4）2+4，∴顶点M的坐标为（4，4），

令y=0，则﹣x2+2x=0，整理得，x2﹣8x=0，解得x1=0，x2=8，∴点A的坐标为（8，0），

设直线AM的解析式为y=kx+b（k≠0），则，解得，

∴直线AB的解析式为y=﹣x+8，∴∠MAO=45°，由抛物线的对称性得，△AMO是等腰直角三角形，

①矩形BCDE为正方形时，BC=DC，∴（﹣a2+2a）﹣a=2，解得a1=，a2=；

②矩形BCDE关于抛物线对称轴对称时，点P的横坐标a=4+CD=4+×2=4+1=5；

③如图，点E在AM上时，设直线y=x与直线AM相交于点G，

联立，解得，∴点G的坐标为（， ），

∵PB∥y轴，四边形BCDE为矩形，∴BE∥x轴，∴△GBE∽△OGA，

∴==，∴=，

过点G作GH⊥x轴于H，则GH∥PB，∴△OBP∽△OGH，

∴=，即=，解得PB=1，∴点B的纵坐标为1，

代入y=x得， x=1，解得x=5，∴点P的横坐标a=5，

∴从此位置到点B与点G重合，重叠部分为等腰直角三角形，∴＜a≤5；

综上所述，矩形BCDE与△OAM重叠部分为轴对称图形时，a的取值范围是： 或或5或＜a＜5，故答案为或或＜a≤5．