Question

【题目】如图，△ABC中，AD是高，CE是中线，点G是CE的中点，DG⊥CE，点G为垂足．

（1）求证：DC＝BE；

（2）若∠AEC＝69°，求∠EDG的度数．

Answer 1

【答案】(1)详见解析;(2)67°

【解析】

（1）由G是CE的中点，DG⊥CE得到DG是CE的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得到DE＝DC，由DE是Rt△ADB的斜边AB上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到DE＝BE＝AB，即可得到DC＝BE；

（2）由DE＝DC得到∠DEC＝∠BCE，由DE＝BE得到∠B＝∠EDB，根据三角形外角性质得到∠EDB＝∠DEC+∠BCE＝2∠BCE，则∠B＝2∠BCE，由此根据外角的性质来求∠BCE的度数即可解决问题．

解：（1）如图，∵G是CE的中点，DG⊥CE，

∴DG是CE的垂直平分线，

∴DE＝DC，

∵AD是高，CE是中线，

∴DE是Rt△ADB的斜边AB上的中线，

∴DE＝BE＝AB，

∴DC＝BE；

（2）∵DE＝DC，

∴∠DEC＝∠BCE，

∴∠EDB＝∠DEC+∠BCE＝2∠BCE，

∵DE＝BE，

∴∠B＝∠EDB，

∴∠B＝2∠BCE，

∴∠AEC＝3∠BCE＝69°，

∴∠BCE＝23°，

∵∠DGC＝90°，

∴∠GDC＝67°，

∵DE＝DC，EG＝CG，

∴∠EDG＝∠GDC＝67°．