Question

【题目】在平面直角坐标系中，O为原点，点A（﹣2，0），点B（0，2），点E，点F分别为OA，OB的中点．若正方形OEDF绕点O顺时针旋转，得正方形OE′D′F′，记旋转角为α．

（1）如图①，当α=90°时，求AE′，BF′的长；
（2）如图②，当α=135°时，求证AE′=BF′，且AE′⊥BF′；

Answer 1

【答案】
（1）解：当α=90°时，点E′与点F重合，如图①．

∵点A（﹣2，0）点B（0，2），

∴OA=OB=2．

∵点E，点F分别为OA，OB的中点，

∴OE=OF=1

∵正方形OE′D′F′是正方形OEDF绕点O顺时针旋转90°得到的，

∴OE′=OE=1，OF′=OF=1．

在Rt△AE′O中，

AE′= ．

在Rt△BOF′中，

BF′= ．

∴AE′，BF′的长都等于 ．

（2）解：当α=135°时，如图②．

∵正方形OE′D′F′是由正方形OEDF绕点O顺时针旋转135°所得，

∴∠AOE′=∠BOF′=135°．

在△AOE′和△BOF′中，

，

∴△AOE′≌△BOF′（SAS）．

∴AE′=BF′，且∠OAE′=∠OBF′．

∵∠ACB=∠CAO+∠AOC=∠CBP+∠CPB，∠CAO=∠CBP，

∴∠CPB=∠AOC=90°

∴AE′⊥BF′．

（Ⅲ）若直线AE′与直线BF′相交于点P，求点P的纵坐标的最大值（直接写出结果即可）．

解：∵∠BPA=∠BOA=90°，∴点P、B、A、O四点共圆，

∴当点P在劣弧OB上运动时，点P的纵坐标随着∠PAO的增大而增大．

∵OE′=1，∴点E′在以点O为圆心，1为半径的圆O上运动，

∴当AP与⊙O相切时，∠E′AO（即∠PAO）最大，

此时∠AE′O=90°，点D′与点P重合，点P的纵坐标达到最大．

过点P作PH⊥x轴，垂足为H，如图③所示．

∵∠AE′O=90°，E′O=1，AO=2，

∴∠E′AO=30°，AE′= ．

∴AP= +1．

∵∠AHP=90°，∠PAH=30°，

∴PH= AP= ．

∴点P的纵坐标的最大值为 ．

【解析】（1）利用勾股定理即可求出AE′，BF′的长．（2）运用全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质就可解决问题．（3）首先找到使点P的纵坐标最大时点P的位置（点P与点D′重合时），然后运用勾股定理及30°角所对的直角边等于斜边的一半等知识即可求出点P的纵坐标的最大值．
【考点精析】掌握三角形的外角和含30度角的直角三角形是解答本题的根本，需要知道三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫三角形的外角；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．