Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，点F，C是⊙O上两点，且 = = ，连接AC，AF，过点C作CD⊥AF交AF延长线于点D，垂足为D．

（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若CD=2 ，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连结OC，如图，

∵ = ，

∴∠FAC=∠BAC，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA，

∴∠FAC=∠OCA，

∴OC∥AF，

∵CD⊥AF，

∴OC⊥CD，

∴CD是⊙O的切线；

（2）解：连结BC，如图，

∵AB为直径，

∴∠ACB=90°，

∵ = = ，

∴∠BOC= ×180°=60°，

∴∠BAC=30°，

∴∠DAC=30°，

在Rt△ADC中，CD=2 ，

∴AC=2CD=4 ，

在Rt△ACB中，BC= AC= ×4 =4，

∴AB=2BC=8，

∴⊙O的半径为4．

【解析】（1）连结OC，由 = ，根据圆周角定理得∠FAC=∠BAC，而∠OAC=∠OCA，则∠FAC=∠OCA，可判断OC∥AF，由于CD⊥AF，所以OC⊥CD，然后根据切线的判定定理得到CD是⊙O的切线；（2）连结BC，由AB为直径得∠ACB=90°，由 = = 得∠BOC=60°，则∠BAC=30°，所以∠DAC=30°，在Rt△ADC中，利用含30度的直角三角形三边的关系得AC=2CD=4 ，在Rt△ACB中，利用含30度的直角三角形三边的关系得BC= AC=4，AB=2BC=8，所以⊙O的半径为4．
【考点精析】解答此题的关键在于理解三角形三边关系的相关知识，掌握三角形两边之和大于第三边；三角形两边之差小于第三边；不符合定理的三条线段，不能组成三角形的三边，以及对切线的判定定理的理解，了解切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．