Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标是（﹣1，0），并且OA=OC=4OB，动点P在过A，B，C三点的抛物线上．

（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；
（3）过动点P作PE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线．垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，写出点P的坐标（不要求写解题过程）．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由B（﹣1，0）可知OB=1，

∵OA=OC=4OB，

∴OA=OC=4，OB=1，

∴C（0，4），A（4，0）．

设抛物线的解析式是y=ax2+bx+c，

则 ，

解得： ，

则抛物线的解析式是y=﹣x2+3x+4；

（2）

解：存在．

①当以C为直角顶点时，

过点C作CP1⊥AC，交抛物线于点P1，

过点P1作y轴的垂线，垂足是M，M，如图1．

∵∠A CP1=90°，∴∠MCP1+∠ACO=90°．

∵∠ACO+∠OAC=90°，

∴∠MCP1=∠OAC．

∵OA=OC，

∴∠MCP1=∠OAC=45°，

∴∠MCP1=∠MP1C，

∴MC=MP1，

设P（m，﹣m2+3m+4），

则m=﹣m2+3m+4﹣4，

解得：m1=0（舍去），m2=2．

∴m=2，

此时﹣m2+3m+4=6，

∴P1P的坐标是（2，6）．

②当点A为直角顶点时，

过A作AP2⊥AC交抛物线于点P2，

过点P2作y轴的垂线，垂足是N，AP交y轴于点F，如图2．

∴P2N∥x轴，

由∠CAO=45°得∠OAP2 =45°，

∴∠FP2N=45°，AO=OF．

∴P2N=NF，

设P2（n，﹣n2+3n+4），

则﹣n+4=﹣（﹣n2+3n+4），

解得：n1=﹣2，n2=4（舍去），

∴n=﹣2，

此时﹣n2+3n+4=﹣6，

∴P2的坐标是（﹣2，﹣6）．

综上所述：P的坐标是（2，6）或（﹣2，﹣6）；

（3）

解：当EF最短时，点P的坐标是（ ，2）或（ ，2）．

解题过程如下：

连接OD，由题意可知，四边形OFDE是矩形，则OD=EF．

根据垂线段最短可得：当OD⊥AC时，OD（即EF）最短．

由（1）可知，在直角△AOC中，OC=OA=4．

根据等腰三角形的性质可得：D是AC的中点．

又∵DF∥OC，

∴△AFD∽△AOC，

∴ = =

∴DF= OC=2，

∴点D的纵坐标是2，

∴点P的纵坐标也是2，

解﹣x2+3x+4=2得，

x1= ，x2= ，

∴点P的坐标为（ ，2）或（ ，2）．

【解析】（1）只需求出A、B、C三点的坐标，然后运用待定系数法就可求出抛物线的解析式；（2）可分两种情况（①以C为直角顶点，②以A为直角顶点）讨论，然后根据点P的纵、横坐标之间的关系建立等量关系，就可求出点P的坐标；（3）连接OD ， 易得四边形OFDE是矩形，则OD=EF ， 根据垂线段最短可得当OD⊥AC时，OD（即EF）最短，然后只需求出点D的纵坐标，就可得到点P的纵坐标，就可求出点P的坐标．
【考点精析】本题主要考查了抛物线与坐标轴的交点的相关知识点，需要掌握一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点．当b2-4ac>0时，图像与x轴有两个交点；当b2-4ac=0时，图像与x轴有一个交点；当b2-4ac<0时，图像与x轴没有交点．才能正确解答此题．