Question

【题目】如图．在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=30cm，点P在AB上，AP=10cm，点E从点P出发沿线段PA以2cm/s的速度向点A运动，同时点F从点P出发沿线段PB以1cm/s的速度向点B运动，点E到达点A后立刻以原速度沿线段AB向点B运动，在点E、F运动过程中，以EF为边作正方形EFGH，使它与△ABC在线段AB的同侧，设点E、F运动的时间为t（s）（0＜t＜20）．

（1）当点H落在AC边上时，求t的值；

（2）设正方形EFGH与△ABC重叠部分的面积为S．①试求S关于t的函数表达式；②以点C为圆心，t为半径作⊙C，当⊙C与GH所在的直线相切时，求此时S的值．

Answer 1

【答案】（1）t=2s或10s；（2）①S=；②100cm2．

【解析】试题分析：（1）如图1中，当0＜t≤5时，由题意AE=EH=EF，即10﹣2t=3t，t=2；如图2中，当5＜t＜20时，AE=HE，2t﹣10=10﹣（2t﹣10）+t，t=10；

（2）分四种切线讨论a、如图3中，当0＜t≤2时，重叠部分是正方形EFGH，S=（3t）2=9t2．b、如图4中，当2＜t≤5时，重叠部分是五边形EFGMN．c、如图5中，当5＜t＜10时，重叠部分是五边形EFGMN．d、如图6中，当10＜t＜20时，重叠部分是正方形EFGH．分别计算即可；

②分两种情形分别列出方程即可解决问题．

试题解析：解：（1）如图1中，当0＜t≤5时，由题意得：AE=EH=EF，即10﹣2t=3t，t=2

如图2中，当5＜t＜20时，AE=HE，2t﹣10=10﹣（2t﹣10）+t，t=10．

综上所述：t=2s或10s时，点H落在AC边上．

（2）①如图3中，当0＜t≤2时，重叠部分是正方形EFGH，S=（3t）2=9t2

如图4中，当2＜t≤5时，重叠部分是五边形EFGMN，S=（3t）2﹣（5t﹣10）2=﹣t2+50t﹣50．

如图5中，当5＜t＜10时，重叠部分是五边形EFGMN，S=（20﹣t）2﹣（30﹣3t）2=﹣t2+50t﹣50．

如图6中，当10＜t＜20时，重叠部分是正方形EFGH，S=（20﹣t）2=t2﹣40t+400．

综上所述：S=．

②如图7中，当0＜t≤5时，t+3t=15，解得：t=，此时S=100cm2，当5＜t＜20时，t+20﹣t=15，解得：t=10，此时S=100．

综上所述：当⊙C与GH所在的直线相切时，求此时S的值为100cm2