Question

【题目】在矩形ABCD中，AB=12，P是边AB上一点，把△PBC沿直线PC折叠，顶点B的对应点是点G，过点B作BE⊥CG，垂足为E且在AD上，BE交PC于点F．

（1）如图1，若点E是AD的中点，求证：△AEB≌△DEC；

（2）如图2，①求证：BP=BF；

②当AD=25，且AE＜DE时，求cos∠PCB的值；

③当BP=9时，求BEEF的值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②；③108.

【解析】（1）先判断出∠A=∠D=90°，AB=DC再判断出AE=DE，即可得出结论；

（2）①利用折叠的性质，得出∠PGC=∠PBC=90°，∠BPC=∠GPC，进而判断出∠GPF=∠PFB即可得出结论；

②判断出△ABE∽△DEC，得出比例式建立方程求解即可得出AE=9，DE=16，再判断出△ECF∽△GCP，进而求出PC，即可得出结论；

③判断出△GEF∽△EAB，即可得出结论．

（1）在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，AB=DC，

∵E是AD中点，

∴AE=DE，

在△ABE和△DCE中，，

∴△ABE≌△DCE（SAS）；

（2）①在矩形ABCD，∠ABC=90°，

∵△BPC沿PC折叠得到△GPC，

∴∠PGC=∠PBC=90°，∠BPC=∠GPC，

∵BE⊥CG，

∴BE∥PG，

∴∠GPF=∠PFB，

∴∠BPF=∠BFP，

∴BP=BF；

②当AD=25时，

∵∠BEC=90°，

∴∠AEB+∠CED=90°，

∵∠AEB+∠ABE=90°，

∴∠CED=∠ABE，

∵∠A=∠D=90°，

∴△ABE∽△DEC，

∴，

设AE=x，

∴DE=25﹣x，

∴，

∴x=9或x=16，

∵AE＜DE，

∴AE=9，DE=16，

∴CE=20，BE=15，

由折叠得，BP=PG，

∴BP=BF=PG，

∵BE∥PG，

∴△ECF∽△GCP，

∴，

设BP=BF=PG=y，

∴，

∴y=，

∴BP=，

在Rt△PBC中，PC=，cos∠PCB==；

③如图，连接FG，

∵∠GEF=∠BAE=90°，

∵BF∥PG，BF=PG，

∴BPGF是菱形，

∴BP∥GF，

∴∠GFE=∠ABE，

∴△GEF∽△EAB，

∴，

∴BEEF=ABGF=12×9=108．