【题目】如图1所示,将矩形OABC置于平面直角坐标系中,点A,C分别在x,y轴的正半轴上,已知点B(4,2),将矩形OABC翻折,使得点C的对应点P恰好落在线段OA(包括端点O,A)上,折痕所在直线分别交BC、OA于点D、E；若点P在线段OA上运动时,过点P作OA的垂线交折痕所在直线于点Q.

（1）求证：CQ=QP
（2）设点Q的坐标为(x,y),求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围;
（3）如图2,连结OQ,OB,当点P在线段OA上运动时,设三角形OBQ的面积为S,当x取何值时,S取得最小值,并求出最小值；

参考答案：

【答案】
（1）

解：连接CQ，

由已知易得CD=PD,

∠CDE=∠PDE,

∴ ∠CDQ=∠PDQ,

又DQ=DQ,

∴△CDQ≌△PDQ得CQ=PQ.


（2）

解：∵Q(x,y) ， CQ=PQ=y

设BC与PQ的交点为M，则QM=y-2,CG=x

由勾股定理，得

x2+(y-2)2=y2，

则y=+1(0<x<4).


（3）

解：设直线OB与直线PQ相交于点G(x，y')，

因为B（4,2），所以直线OB为y=，

因为点G在直线OB上，则y'=，

则QG=x2+1-x

则S=×4（x2-x+1）=x2-x+2，

当x=1时，S的最小值为.


【解析】（1）连接CQ，由折叠的性质易得CD=PD,，∠CDE=∠PDE,则∠CDQ=∠PDQ，又DQ=DQ,可得△CDQ≌△PDQ得CQ=PQ；
（2）CQ=PQ=y，在直角三角形CQM中，QM2+CM2=CQ2 ， 可解得y与x的关系；
（3）点G与点Q的横坐标相同，由点G在OB上易得点G的纵坐标，可知QG的长，而S=S△OQG+S△BQG ， 可得到S与x的关系式，再求最值.
【考点精析】关于本题考查的二次函数的性质和二次函数的最值，需要了解增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小；如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当x=-b/2a时，y最值=(4ac-b2)/4a才能得出正确答案．

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