Question

【题目】已知，如图1，在 中，AC=BC，点D是边AB的中点，E，F分别是AC和BC的中点，分别以CE，CF为一边向上作两个全等的矩形CEGH和矩形CFMN（其中EG=FM），依次连结DG、DM、GM。

（1）求证： 是等腰三角形。
（2）如图2，若将上图中的两个全等的矩形改为两个全等的正三角形（ 和 )，其他条件不变。请探究 的形状，并说明理由。

（3）若将上图中的两个全等的矩形改为两个正方形，并把 中的边BC缩短到如图3形状，请探究 的形状，并说明理由。

Answer 1

【答案】
（1）

证明：∵四边形CEGH和CFMN是全等的矩形，

∴CE=CF，EG=FM，∠GEC=∠MFC= 90°．

连接DE、DF，如图1．

∵D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，

∴DE∥BC，且DE=CF=BC；

DF∥AC，且DF=CE=AC．

∴四边形DECF是平行四边形．

∴ ∠DEC=∠DFC．

又∵∠GEC=∠MFC，∴∠DEG=∠DFM．

∵AC=BC，∴DE=DF.

∴△DEG ≌ △DFM（SAS）．

∴DG=DM．

∴△DGM是等腰三角形．

（2）

解：△DGM是等边三角形．

证明：∵△CEG和△CFM是全等的等边三角形，

∴CE =EG =CG=CF=FM=CM，∠GEC =∠MFC = 60°．

连接DE、DF，如图2．

∵D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，

∴DE∥BC，且DE = CF

=BC，DF∥AC，且DF = CE =AC．

∴四边形DECF是平行四边形．

∴ ∠DEC =∠DFC．

又∵∠GEC =∠MFC，∴∠DEG=∠DFM．

∵AC=BC，∴DE=DF.

∴△DEG ≌ △DFM（SAS）．

∴DG=DM．

∴△DGM是等腰三角形．

又∵∠GCM+∠ACB=360°-60°-60°=240°

∠GED+∠ACB=∠GEC+∠CED+∠ACB=60°+180°=240°

∴∠GCM=∠GED

又DE=CF=CM，EG=CG

∴△GED≌ △GCM（SAS）．

∴GM=GD

∴△DGM是等边三角形．

（3）

解：△DGM是等腰直角三角形．

显然，由（1）(2)易得△DEG≌ △MFD（SAS）

∴DG=DM，∠DGE=∠MDF

∵DF∥AC

∴∠CED+∠EDF=180°

即：∠CED+∠EDG+∠GDM+∠MDF=180°

又由三角形内角和可知∠CED+∠EDG+∠GEC+∠DGE=180°

∴∠GDM=∠GEC=90°

∴△DGM是等腰直角三角形.

【解析】三个小题都要证明△DFM≌ △DFM（SAS），证明方法类似；再根据全等的性质和每小题的不同点证明得到答案.
【考点精析】本题主要考查了三角形中位线定理和矩形的性质的相关知识点，需要掌握连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半；矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等才能正确解答此题．