Question

【题目】如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，点E、F同时从点C出发，以cm/s的速度分别沿CA、CB匀速运动，当点E到达点 A时，两点同时停止运动，设运动时间为ts．过点F作BC的垂线l交AB于点D，点G与点E关于直线l对称．

（1）当t ＝ s时，点G在∠ABC的平分线上；

（2）当t ＝ s时，点G在AB边上；

（3）设△DFG与△DFB重合部分的面积为Scm2， 求S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围．

Answer 1

【答案】（1） （2）（3）①= ②

【解析】试题分析：（1）过点G做GH⊥BD，垂足为H，GM⊥FB，垂足为M，点E、F同时从点C出发，所以EC=CF=FM=GM=GH=t，且DG也是△BDF的角平分线，由△BDF∽△ABC得： ，∴BD＝5t，DF＝3t，可求得DL、BM的长度，由DL=DH，BH=BM，构造关于t的方程可以求得答案．

（2）点G在AB边上时，过点G作GH⊥BC，垂足为H，由（1）中的数值，结合△BGH∽△BAC，构造出关于t的方程，可以得到答案．

（3））由DF∥AC得到△ABC∽△DBF，∴ ，即，得到DF＝ (8t)，分两种情况讨论：

①当0＜t≤时，S＝S△DFG＝S△DEF=DFCF＝× (8t)×t=t2+t；

②当＜t≤6时，设G交AB于点M，过点M作MH⊥BC于H，设FH=MH=a，求得BH，解出a与t的关系，继而求得S与t的关系．

试题解析：（1）

设DF，EG相交于L，过点G做GH⊥BD，垂足为H，GM⊥FB，垂足为M，点E、F同时从点C出发，所以四边形ECFL、四边形LFGM都是正方形，

∴EC=CF=FM=GM=GH=t，

又∵DG也是△BDF的角平分线，

∴DL=DH，

∵DF∥AC，

∴△BDF∽△BAC，

∴，

∴BD＝5t，DF＝3t，

又∵DL=DH=3tt＝3t，

BH=BM=4-t，又∵BD=BH+HD，

∴5t＝3t+4t，解得：t=．

（2）

点G在AB边上时，过点G作GH⊥BC，垂足为H，

∵GH∥AC，

所以△BGH∽△BAC，

∴，即： ，

解得：t=．

（3）∵DF∥AC

∴△ABC∽△DBF，

∴，

即，解得

①当时，

=

②当时，设FG交AB于点M，过点M作MH⊥BC于H，设FH=MH=a，

则BH= ，

∴，

解得