Question

【题目】定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连结它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径。

（1）如图1，损矩形ABCD，∠ABC＝∠ADC＝90°，则该损矩形的直径是线段AC，同时我们还发现损矩形中有公共边的两个三角形角的特点，在公共边的同侧的两个角是相等的。如图1中：△ABC和△ABD有公共边AB，在AB同侧有∠ADB和∠ACB，此时∠ADB＝∠ACB；再比如△ABC和△BCD有公共边BC，在CB同侧有∠BAC和∠BDC，此时∠BAC＝∠BDC。请再找一对这样的角来 ＝

（2）如图2，△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为一边向形外作菱形ACEF，D为菱形ACEF的中心，连结BD，当BD平分∠ABC时，判断四边形ACEF为何种特殊的四边形？请说明理由。

（3）在第（2）题的条件下，若此时AB＝，BD＝，求BC的长。

Answer 1

【答案】（1）∠ABD=∠ACD；（2）四边形ACEF为正方形，理由见解析；（3）5.

【解析】

（1）以AD为公共边，有∠ABD=∠ACD；

（2）证明△ADC是等腰直角三角形，得AD=CD，则AE=CF，根据对角线相等的菱形是正方形可得结论；

（3）如图2，作辅助线构建直角三角形，证明△ABC≌△CHE，得CH=AB=3，根据平行线等分线段定理可得BG=GH=4，从而得结论.

解：（1）由图1得：△ABD和△ADC有公共边AD，在AD同侧有∠ABD和∠ACD，此时∠ABD=∠ACD；

（2）四边形ACEF为正方形，理由是：

∵∠ABC=90°，BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠CBD=45°

∴∠DAC=∠CBD=45°

∵四边形ACEF是菱形，

∴AELCF，

∴∠ADC=90°，

∴△ADC是等腰直角三角形，

∴AD=CD，.AE=CF，

∴菱形ACEF是正方形；

（3）如图2，过D作DG⊥BC于G，过E作EH⊥BC，交BC的延长线于H，

∵∠DBG=45°，

∴△BDG是等腰直角三角形，BD=4，

∵BG=4，四边形ACEF是正方形，

∴AC=CE，∠ACE=90°，AD=DE，

易得△ABC≌△CHE，

∴CH=AB=3，AB//DG//EH，AD=DE，

∴BG=GH=4，

∴CG=4-3=1，

∴BC=BG+CG=4+1=5.