Question

【题目】（1）如图1，在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，且点D在BC边上滑动（点D不与点B，C重合），连接EC，

①则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为　 　；

②求证：BD2+CD2＝2AD2；

（2）如图2，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°．若BD＝9，CD＝3，求AD的长．

Answer 1

【答案】（1）①BC＝DC+EC，理由见解析；②证明见解析；（2）6.

【解析】

(1)证明△BAD≌△CAE，根据全等三角形的性质解答;

(2)根据全等三角形的性质得到BD＝CE，∠ACE＝∠B，得到∠DCE＝90°，根据勾股定理计算即可;

(3)作AE⊥AD，使AE＝AD，连接CE，DE，证明△BAD≌△CAE，得到BD＝CE＝9，根据勾股定理计算即可.

（1）①解：BC＝DC+EC，理由如下：

∵∠BAC＝∠DAE＝90°，

∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，

即∠BAD＝∠CAE，

在△BAD和△CAE中，，

∴△BAD≌△CAE（SAS），

∴BD＝EC，

∴BC＝DC+BD＝DC+EC，；

故答案为：BC＝DC+EC；

②证明：∵Rt△ABC中，AB＝AC，

∴∠B＝∠ACB＝45°，

由（1）得，△BAD≌△CAE，

∴BD＝CE，∠ACE＝∠B＝45°，

∴∠DCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，

∴CE2+CD2＝ED2，

在Rt△ADE中，AD2+AE2＝ED2，

又AD＝AE，

∴BD2+CD2＝2AD2；

（2）解：作AE⊥AD，使AE＝AD，连接CE，DE，如图2所示：

∵∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，

即∠BAD＝∠CAE，

在△BAD与△CAE中，，

∴△BAD≌△CAE（SAS），

∴BD＝CE＝9，

∵∠ADC＝45°，∠EDA＝45°，

∴∠EDC＝90°，

∴DE＝＝＝6，

∵∠DAE＝90°，

∴AD＝AE＝DE＝6．