Question

【题目】如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD交于点O，且AC=80，BD=60．动点M，N分别以每秒1个单位的速度从点A，D同时出发，分别沿A→O→D和D→A运动，当点N到达点A时，M，N同时停止运动．设运动时间为t秒．

（1）求菱形ABCD的周长．
（2）设△DMN的面积为S，求S关于t的解析式，并求S的最大值（提示：需分两种情况讨论）．

Answer 1

【答案】
（1）

解：在菱形ABCD中，

∵四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD交于点O，且AC=80，BD=60，

∴OA=40，OD=30，

∵AC⊥BD，

∴AD= =50．

∴菱形ABCD的周长为200

（2）

解：过点M作MP⊥AD，垂足为点P．

①当0＜t≤40时，如图1，

∵ ，

∴MP=AMsin∠OAD= ．

∴ ．

∵S随t的增大而增大，

∴当t=40时，最大值为480；

②当40＜t≤50时，如图2，

∴MD=80﹣t．

∵ ，

∴MP= ．

∴ = = = +490．

∵S随t的增大而减小，

∴当t=40时，最大值为480．

综上所述，S的最大值为480

【解析】（1）根据勾股定理及菱形的性质，求出菱形的周长；（2）在动点M、N运动过程中：①当0＜t≤40时，如答图1所示，②当40＜t≤50时，如答图2所示．分别求出S的关系式，然后利用二次函数的性质求出最大值．
【考点精析】本题主要考查了二次函数的图象和二次函数的性质的相关知识点，需要掌握二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点；增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小才能正确解答此题．