Question

【题目】已知：如图1，△ABC是边长为4的等边三角形，点O在边AB上，⊙O过点B且分别与边AB，BC相交于点D，E，EF⊥AC，垂足为F．
（1）求证：直线EF是⊙O的切线；
（2）如图2，当直线AC与⊙O相切时，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OE．

∵△ABC是等边三角形∴∠B=∠C=60°；

又∵OB=OE∴∠OEB=∠B=∠C=60°；

∴OE∥AC；

∵EF⊥AC，

∴EF⊥OE

∴EF是⊙O的切线．

（2）设直线AC与⊙O相切于点G，连接OG，则OB=OG=r，OA=4﹣r

在Rt△AOG中，sinA= ，

∴ = ，

解得：r=8 ﹣12．

【解析】（1）连接OE，只要证明OE⊥EF，只要证明OE∥AC即可解决问题．（2）设直线AC与⊙O相切于点G，连接OG，则OB=OG=r，OA=4﹣r，在Rt△AOG中，根据sinA= ，列出方程即可解决问题．
【考点精析】利用等边三角形的性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知等边三角形的三个角都相等并且每个角都是60°．