Question

【题目】如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．

（1）四边形EFGH是怎样的四边形？证明你的结论．

（2）当四边形ABCD的对角线AC、BD满足条件　　　　时，四边形EFGH是矩形．

（3）当四边形ABCD的对角线AC、BD满足条件　　　　时，四边形EFGH是菱形．

Answer 1

【答案】（1）平行四边形，证明见解析；（2）AC⊥BD；（3）AC=BD

【解析】

（1）根据三角形的中位线定理，可以证明所得四边形的两组对边分别和两条对角线平行，所得四边形的两组对边分别是两条对角线的一半，再根据平行四边形的判定就可证明该四边形是一个平行四边形；

（2）在（1）的基础上，所得四边形要成为矩形，则需有一个角是直角，故对角线应满足互相垂直；

（3）在（1）的基础上，所得四边形要成为菱形，则需有一组邻边相等，故对角线应满足相等．

解：（1）∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边上的中点，
∴EF∥AC，EF=AC，FG∥BD，FG=BD，GH∥AC，GH=AC，EH∥BD，EH= BD．

∴EF∥HG，EF=GH，FG∥EH，FG=EH．

∴四边形EFGH是平行四边形；

（2）要使四边形EFGH是矩形，则需EF⊥FG，由（1）得，只需AC⊥BD；

故答案为：AC⊥BD；

（3）要使四边形EFGH是菱形，则需EF=FG，由（1）得，只需AC=BD；

故答案为：AC=BD．