Question

【题目】如图，正方形的边长是4，的平分线交于点，若点、分别是和上的动点，则的最小值是__________．

Answer 1

【答案】

【解析】

过作的垂线交于F，交AC于D′，再过D′作D′P′⊥AD，由角平分线的性质可得出D′是D关于AE的对称点，进而可知D′P′即为DQ+PQ的最小值．

解：过作的垂线交于F，交AC于D′，再过D′作D′P′⊥AD，如下图，

∵DD′⊥AE，

∴∠AFD=∠AFD′，

∵AF=AF，∠DAE=∠CAE，

∴△DAF≌△D′AF，

∴D′是D关于AE的对称点，AD′=AD=4，

∴D′P′即为DQ+PQ的最小值，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAD′=45°，

∴AP′=P′D′，

在Rt△AP′D′中，
P′D′2+AP′2=AD′2，AD′2=16，
∵AP′=P′D'，
2P′D′2=AD′2，即2P′D′2=16，
∴P′D′=，

即的最小值是．

故答案为：．