Question

【题目】如图，点B，C，D都在⊙O上，过C点作CA∥BD交OD的延长线于点A，连接BC，∠B=∠A=30°，BD=2 ．

（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）求由线段AC、AD与弧CD所围成的阴影部分的面积．（结果保留π）

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OC，交BD于E，

∵∠B=30°，∠B= ∠COD，

∴∠COD=60°，

∵∠A=30°，

∴∠OCA=90°，

即OC⊥AC，

∴AC是⊙O的切线

（2）解：∵AC∥BD，∠OCA=90°，

∴∠OED=∠OCA=90°，

∴DE= BD= ，

∵sin∠COD= ，

∴OD=2，

在Rt△ACO中，tan∠COA= ，

∴AC=2 ，

∴S阴影= ×2×2 ﹣ =2 ﹣

【解析】（1）要证AC是⊙O的切线，连接OC,根据圆周角定理，可得出∠COD=60°，再证明OC⊥AC即可；
（2）由图可知S阴影=SRt△OAC-S△OCD，求出两个三角形的面积，就可以求出阴影部分的面积。