Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，AD是弦，∠A=22.5°，延长AB到点C，使得∠ACD=45°．

（1）求证：CD是⊙O的切线．
（2）若AB=2 ，求OC的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接DO，

∵AO=DO，

∴∠DAO=∠ADO=22.5°．

∴∠DOC=45°．

又∵∠ACD=2∠DAB，

∴∠ACD=∠DOC=45°．

∴∠ODC=90°．

又∵OD是⊙O的半径，

∴CD是⊙O的切线

（2）解：连接DB，

∵直径AB=2 ，△OCD为等腰直角三角形，

∴CD=OD= ，OC= =2．

【解析】（1）连接DO，由三角形的外角与内角的关系易得∠DOC=∠C=45°，故有∠ODC=90°，即CD是圆的切线．（2）由1知，CD=OD= AB，在直角△COD中，利用勾股定理即可求解．