Question

【题目】已知：如图，在同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点．

（1）求证：∠AOC=∠BOD；
（2）试确定AC与BD两线段之间的大小关系，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵OA=OB，OC=OD，

∴∠A=∠B，∠OCD=∠ODC，

∵∠OCD=∠A+∠AOC，∠ODC=∠BOD+∠B，

∴∠A+∠AOC=∠BOD+∠B，

∴∠AOC=∠DOB

（2）解：AC=BD

证明：过O作OE⊥AB于E，

∴AE=EB，CE=ED，

∴AE﹣CE=BE﹣DE，

即AC=BD．

【解析】（1）由于OA=OB，OC=OD，利用等边对等角易得∠A=∠B，∠OCD=∠ODC，而利用三角形外角性质可得∠OCD=∠A+∠AOC，∠ODC=∠BOD+∠B，从而可得∠A+∠AOC=∠BOD+∠B，再利用等量相减，差相等可得∠AOC=∠DOB；（2）过O作OE⊥AB于E，利用垂径定理有AE=EB，CE=ED，于是AE﹣CE=BE﹣DE，即AC=BD．
【考点精析】解答此题的关键在于理解垂径定理的相关知识，掌握垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．