Question

【题目】如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（1，0）、B（4，0）、C（0，3）三点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图①，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得四边形PAOC的周长最小？若存在，求出四边形PAOC周长的最小值；若不存在，请说明理由．

（3）如图②，点Q是线段OB上一动点，连接BC，在线段BC上是否存在这样的点M，使△CQM为等腰三角形且△BQM为直角三角形？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】y=x2﹣x+3；在抛物线的对称轴上存在点P，使得四边形PAOC的周长最小，四边形PAOC周长的最小值为9；点M的坐标为（，）或（，）．

【解析】

试题分析：（1）把点A（1，0）、B（4，0）、C（0，3）三点的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求解；

（2）A、B关于对称轴对称，连接BC，则BC与对称轴的交点即为所求的点P，此时PA+PC=BC，四边形PAOC的周长最小值为：OC+OA+BC；根据勾股定理求得BC，即可求得；（3）分两种情况分别讨论，即可求得

试题解析：（1）由已知得解得． 所以，抛物线的解析式为y=x2﹣x+3．

（2）∵A、B关于对称轴对称，如图1，连接BC， ∴BC与对称轴的交点即为所求的点P，此时PA+PC=BC，

∴四边形PAOC的周长最小值为：OC+OA+BC， ∵A（1，0）、B（4，0）、C（0，3），

∴OA=1，OC=3，BC==5， ∴OC+OA+BC=1+3+5=9；

∴在抛物线的对称轴上存在点P，使得四边形PAOC的周长最小，四边形PAOC周长的最小值为9．

（3）∵B（4，0）、C（0，3）， ∴直线BC的解析式为y=﹣x+3，

①当∠BQM=90°时，如图2，设M（a，b）， ∵∠CMQ＞90°， ∴只能CM=MQ=b，

∵MQ∥y轴， ∴△MQB∽△COB，

∴=，即=，解得b=，代入y=﹣x+3得，=﹣a+3，解得a=， ∴M（，）；

②当∠QMB=90°时，如图3， ∵∠CMQ=90°， ∴只能CM=MQ， 设CM=MQ=m， ∴BM=5﹣m，

∵∠BMQ=∠COB=90°，∠MBQ=∠OBC， ∴△BMQ∽△BOC， ∴=，解得m=，

作MN∥OB， ∴==，即==， ∴MN=，CN=， ∴ON=OC﹣CN=3﹣=， ∴M（，），

综上，在线段BC上存在这样的点M，使△CQM为等腰三角形且△BQM为直角三角形，点M的坐标为（，）或（，）．