Question

【题目】在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G．一等腰直角三角尺按如图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B．

（1）在图1中请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系，然后证明你的猜想；

（2）当三角尺沿AC方向平移到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DE⊥BA于点E．此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DE+DF与CG之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；

（3）当三角尺在（2）的基础上沿AC方向继续平移到图3所示的位置（点F在线段AC上，且点F与点C不重合）时，若AG：AB=5：13，BC=4，求DE+DF的值．

Answer 1

【答案】（1）BF=CG，理由详见解析；（2）DF+DE=CG，理由详见解析；（3）8．

【解析】【试题分析】（1）如图1，BF和CG可看成△ABC的高，根据S△ABC=ACBF=ABCG，AB=AC，即可解决问题；

（2）连接AD，如图2．由于DF⊥AC，DE⊥AB，CG⊥AB，因此DF、DE、CG可分别看成△ACD、△ABD、△ABC的高，再根据S△ACD+S△ABD=S△ABC，AB=AC，即可解决问题；

（3）连接AD，如图3．，同（2）可得：DF+DE=CG．设AG=5x，根据条件可得AC=AB=13x，运用勾股定理可得GC=12x，然后在Rt△BGC中运用勾股定理即可求出x的值，从而解决问题．

【试题解析】

（1）猜想：BF=CG．

理由：如图1．

∵BF⊥AC，CG⊥AB，

∴S△ABC=ACBF=ABCG．

∵AB=AC，

∴BF=CG；

（2）猜想：DE+DF=CG．

理由：连接AD，如图2．

∵DF⊥AC，DE⊥AB，CG⊥AB，

∴S△ACD=ACDF，S△ABD=ABDE，S△ABC=ABCG．

∵S△ACD+S△ABD=S△ABC，

∴ACDF+ABDE=ABCG．

∵AB=AC，

∴DF+DE=CG；

（3）连接AD，如图3．

同（2）可得：DF+DE=CG．

设AG=5x，

∵AG：AB=5：13，AB=AC，

∴AC=AB=13x．

∴∠G=90°，

∴GC==12x．

在Rt△BGC中，

∵BG=AB+AG=13x+5x=18x，GC=12x，BC=4，

∴（18x）2+（12x）2=（4）2，

解得：x=，

∴DE+DF=CG=12x=8．