Question

【题目】菱形中，为边上的点，相交于点．

（1）如图1，若，，求证：；

（2）如图2，若．求证：；

（3）如图3，在（1）的条件下，平移线段到，使为的中点，连接交于点，若，请直接写出的长度．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）1＋．

【解析】

（1）由菱形ABCD中和∠A＝90°可得菱形ABCD是正方形，根据正方形性质得AD＝DC，∠A＝∠CDF＝90°，再加上DE＝CF即证得Rt△ADE≌Rt△DCF，所以∠ADE＝∠DCF，等量代换计算即得到∠CGD＝90°，得证．
（2）由菱形性质可得AD＝CD，∠B＝∠ADC，∠B＋∠BAD＝180°，再由∠EGC＋∠B＝180°可得∠A＝∠EGC＝∠DGF，∠CGD＝∠B＝∠ADC，证明△ADE∽△GDF和△DCG∽△FCD，再由对应边成比例等量代换计算得DE＝CF．
（3）由（1）的条件可得MN＝CF，MN⊥CF，加上G为CF的中点，即MN垂直平分CF，连接FM即有FM＝MC且∠DMF＝∠MFC＋∠FCD＝30°，设DF＝x，则根据30°直角三角形的性质，可用x表示FM、DM．过点N作CD的垂线段NP，则CP＝BN＝，且易证Rt△NPM≌Rt△CDF，所以MP＝DF＝x，进而能用x表示CM、CD．利用MF＝MC列出关于x的方程，求解即得到CM、CD、DF的长．证明△CGM∽△CDF，根据对应边成比例计算即求得FG＝CG的长．

解：（1）证明：∵菱形ABCD中，∠A＝90°
∴菱形ABCD是正方形
∴AD＝DC，∠A＝∠CDF＝90°
在Rt△ADE与Rt△DCF中
DE＝CF，AD＝DC，
∴Rt△ADE≌Rt△DCF（HL）
∴∠ADE＝∠DCF
∴∠DCF＋∠CDE＝∠ADE＋∠CDE＝∠ADC＝90°
∴∠CGD＝90°
∴DE⊥CF
（2）证明：∵四边形ABCD是菱形
∴AD＝CD，∠B＝∠ADC，AD∥BC
∴∠A＋∠B＝180°
∵∠EGC＋∠B＝180°，∠EGC＋∠CGD＝180°
∴∠A＝∠EGC＝∠DGF，∠CGD＝∠B＝∠ADC
∵∠A＝∠DGF，∠ADE＝∠GDF
∴△ADE∽△GDF
∴，
∴

∵∠CGD＝∠CDF，∠DCG＝∠FCD
∴△DCG∽△FCD
∴，
∴，
∵AD＝DC，
∴DE＝CF；
（3）如图，过点N作NP⊥CD于点P，连接FM，

∴∠CPN＝∠MPN＝90°，
∵四边形ABCD是正方形
∴∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，BC＝CD
∴四边形BCPN是矩形
∴NP＝BC＝CD，PC＝BN＝，

在Rt△NPM与Rt△CDF中
MN＝CF，NP＝CD，
∴Rt△NPM≌Rt△CDF（HL）
∴PM＝DF
设PM＝DF＝x，则CM＝PC＋PM＝＋x，
∵由（1）得MN⊥CF，G为CF中点
∴MN垂直平分CF
∴MF＝MC
∴∠MFC＝∠FCD＝15°
∴∠DMF＝∠MFC＋∠FCD＝30°
∴Rt△DMF中，MF＝2DF＝2x，DM＝，

由于MF＝MC，即2x＝＋x
∴x＝
∴DF＝，DM=，CM＝MF=2，CD＝CM＋DM＝2+
∵∠GCM＝∠MCF，∠CGM＝∠CDF＝90°
∴△CGM∽△CDF
∴，
∴2CG2＝CDCM＝（2+）2＝8＋4，
∴CG2＝4＋2＝12＋2+()2=（1＋）2，
∴FG＝CG＝1＋．