Question

【题目】如图，已知在中，是边上一点，，是的外接圆，是的直径，且交于点．

（1）求证：是的切线；

（2）过点作，垂足为点，延长交于点，若，求的长；

（3）在满足（2）的条件下，若，，求的半径及的值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）AC＝；（3）sin∠ACE＝．

【解析】

（1）根据圆周角定理得出∠ACD＝90°以及利用∠PAC＝∠PBA得出∠CAD＋∠PAC＝90°进而得出答案；
（2）首先得出△CAG∽△BAC，进而得出AC2＝AGAB，求出AC即可；
（3）先求出AF的长，根据勾股定理得：AG＝，即可得出sin∠ADB的值，利用∠ACE＝∠ACB＝∠ADB，求出即可．

解：（1）证明：连接CD，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD＝90°，
∴∠CAD＋∠ADC＝90°，
又∵∠PAC＝∠PBA，∠ADC＝∠PBA，
∴∠PAC＝∠ADC，
∴∠CAD＋∠PAC＝90°，即∠PAD=90°，
∴PA⊥OA．
又∵AD是⊙O的直径，
∴PA是⊙O的切线；

（2）由（1）知，PA⊥AD，
又∵CF⊥AD，
∴CF∥PA，
∴∠GCA＝∠PAC，
又∵∠PAC＝∠PBA，
∴∠GCA＝∠PBA，
又∵∠CAG＝∠BAC，
∴△CAG∽△BAC，
∴，即AC2＝AGAB，
∵AGAB＝48，
∴AC2＝48．
∴AC＝．
（3）设AF＝x，
∵AF：FD＝1：2，
∴FD＝2x．
∴AD＝AF＋FD＝3x．
在Rt△ACD中，
∵CF⊥AD，
由射影定理得：AC2＝AFAD，
即3x2＝48．
解得；x＝4．
∴AF＝4，AD＝12．
∴⊙O半径为6．
在Rt△AFG中，∵AF＝4，GF＝2，
∴根据勾股定理得：AG＝，
由（2）知，AGAB＝48，
∴AB＝，
连接BD，∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°．
在Rt△ABD中，
∵sin∠ADB＝，AD＝12，AB＝，
∴sin∠ADB＝．
∵∠ACE＝∠ACB＝∠ADB，
∴sin∠ACE＝．