Question

【题目】在△ABC中，∠ABM=45°，AM⊥BM，垂足为M，点C是BM延长线上一点，连接AC．
（1）如图1，若AB=3 ，BC=5，求AC的长；
（2）如图2，点D是线段AM上一点，MD=MC，点E是△ABC外一点，EC=AC，连接ED并延长交BC于点F，且点F是线段BC的中点，求证：∠BDF=∠CEF．

Answer 1

【答案】
（1）∵∠ABM=45°，AM⊥BM，

∴AM=BM=ABcos45°=3 × =3，

则CM=BC﹣BM=5﹣2=2，

∴AC= = = ；

（2）延长EF到点G，使得FG=EF，连接BG．

由DM=MC，∠BMD=∠AMC，BM=AM，

∴△BMD≌△AMC（SAS），

∴AC=BD，

又CE=AC，

因此BD=CE，

由BF=FC，∠BFG=∠EFC，FG=FE，

∴△BFG≌△CFE，

故BG=CE，∠G=∠E，

所以BD=BG=CE，

因此∠BDG=∠G=∠E．

【解析】（1）先由AM=BM=ABcos45°=3可得CM=2，再由勾股定理可得AC的长；（2）延长EF到点G，使得FG=EF，证△BMD≌△AMC得AC=BD，再证△BFG≌△CFE可得BG=CE，∠G=∠E，从而得BD=BG=CE，即可得∠BDG=∠G=∠E．
【考点精析】关于本题考查的勾股定理的概念，需要了解直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2才能得出正确答案．