Question

【题目】如图1，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上，连接BE、CE.

(1)求证：BE=CE

(2)如图2，若BE的延长线交AC于点F，且BF ⊥AC，垂足为F，原题设其它条件不变．求证：∠CAD=∠CBF

(3)在(2)的条件下，若∠BAC=45，判断△CFE的形状，并说明理由．

Answer 1

【答案】证明见解析

【解析】试题分析：（1）由条件证明△ABE≌△ACE即可；

（2）利用垂直的定义可求得∠CAD+∠C=∠CBF+∠C=90°，可证得结论；

（3）由条件可证明△AEF≌△BCF，可得AF=BF，可得出结论．

解：(1)∵AB=AC，D是BC的中点

∴∠BAE=∠CAE

在△ABE和△ACE中，

∴△ABE≌△ACE（SAS）

∴BE=CE

(2)∵AB=AC，点D是BC的中点

∴AD⊥BC

∴∠CAD+∠C=90°

∵BF⊥AC

∴∠CBF+∠C=90°

图一 图二

∴∠CAD=∠CBF

(3)∵∠BAC=45°，BF⊥AF

∴△ABF为等腰直角三角形

∴AF=BF

在△AEF和△BCF中，

∴△AEF≌△BCF（ASA）．

∴EF=CF

∵∠CFE=90°

∴△CFE为等腰直角三角形.