Question

【题目】已知AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，CD∥AB，过点B的切线与射线AD交于点M，连接AC，BD．

（1）如图l，求证：AC=BD；
（2）如图2，延长AC、BD交于点F，作直径DE，连接AE、CE，CE与AB交于点N，求证：∠AFB=2∠AEN；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点M作MQ⊥AF于点Q，若MQ：QC=3：2，NE=2，求QF的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OC，OD，

∵CD∥AB，

∴∠DAB=∠ADC，

∵∠DOB=2∠DAB，∠COA=2∠CDA，

∴∠COA=∠DOB，

∴AC=BD；

（2）连接OC，

∵∠COA=∠DOB，OA=OB=OC=OD，

∴∠CAB=∠DBA，

∴△FBA是等腰三角形，

∵DE是⊙O的直径，

∴∠ECD=90°，

∵CD∥AB，

∴∠ANC=90°，

∴AB⊥CE，

∴AC=AE，

∴∠CAN=∠EAN=∠ABF，∠ACE=∠AEN，

∵∠FAB+∠FBA+∠F=180°，∠CAE+∠AEC+∠ACE=180°，

∴∠F=∠ACE+∠AEC，

∴∠AFB=2∠AEN；

（3）解：连接BC交AD于P，

∵AC=BD，

∴ = ，

∴∠PAB=∠PBA，

∴PA=PB，∠PBM=∠PMB，

∴PB=PM，

∴P为AM的中点，

∵MQ⊥AF，BC⊥AF，

∴BC∥MQ，

∴ = ，

∴AC=CQ，

∵ = ，

∴ = ，

∴tan∠MAQ= ，

∴tan∠F= ，

设DF=3k，AD=4k，由勾股定理得，AF=5k=BF，

∴BD=2k，

∴tan∠ABD=2，

∴DE为直径，

∴∠EAD=90=∠BDM，

∴AE∥BD，

∴∠EAN=∠ABD，

∴tan∠EAN=2，

∵NE=2，

∴AN=1，CN=2，

∴BN=4，AE=BD= ，

∴DF= ，AC=BD= =CQ，

∴QF=

【解析】（1）由平行线的内错角相等性质、圆周角定理可推出AC=BD；（2）由于∠AEN是圆周角，因此2∠AEN可转化为圆心角∠COA，问题转化为证∠COA=∠AFB，两个角都是等腰三角形的顶角，转化为证底角相等，即∠CAN=∠EAN=∠ABF，由垂径定理推论易证出结论;（3）利用圆周角定理的推论可推出tan∠MAQ= ,进而推出tan∠F= ,设出参数，求出AC，进而求出AQ，用AF减去AQ可求出QF