Question

【题目】如图，BD为四边形ABCD的对角线，BC=AD，∠A=∠CBD，∠ABD=120°，AB=3，CD=，则BC的长为_____________.

Answer 1

【答案】7

【解析】如图，过点D作DE//BA，并且使DE=BD，连接BE，AE，过点B作BF⊥DE于点F，过点A作AG⊥DE于点G，则四边形ABFG是矩形，从而有FG=AB=3，AG=BF，通过证明△ADE≌△CBD，可得AE=CD=，根据已知易得△BDE是等边三角形，根据等边三角形的性质可得DF=BD，BF=BD，在Rt△AEG中，利用勾股定理可求得BD=5，从而得AG=，DG=，在Rt△ADG中，根据勾股定理求得AD长即可得答案.

如图，过点D作DE//BA，并且使DE=BD，连接BE，AE，过点B作BF⊥DE于点F，过点A作AG⊥DE于点G，则四边形ABFG是矩形，

∴FG=AB=3，AG=BF，

∵AB//DE，∴∠ADE=∠BAD，

∵∠BAD=∠CBD，

∴∠ADE=∠CBD，

又∵DE=BD，AD=BC，

∴△ADE≌△CBD，

∴AE=CD=，

∵∠ABD=120°，DE//AB，

∴∠BDE=60°，

∴△BDE是等边三角形，

∴DF=BD，BF=BD，

在Rt△AEG中， AE2=AG2+EG2，EG=DF+FG-DE=BD+3-BD=3-BD，

∴，

∴BD=5或BD=-2（舍去），

∴AG=，DG=DF+FG=+3=，

在Rt△ADG中，AD2=AG2+DG2=（）2+（）2=49，

∴AD=7，

∴BC=7，

故答案为：7.