Question

【题目】连接四边形不相邻两个顶点的线段叫做四边形的对角线，如图1，四边形ABCD中线段AC、线段BD就是四边形ABCD 的对角线.把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．

（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由．

（2）性质探究：试探索垂美四边形ABCD两组对边AB，CD的平方和与BC，AD的平方和之间的数量关系．

猜想结论：（要求用文字语言叙述）______

写出证明过程（先画出图形，写出已知、求证）．

（3）问题解决：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC=4，AB=5，求GE长．

Answer 1

【答案】垂美四边形的两组对边的平方和相等

【解析】

（1）根据垂直平分线的判定定理证明即可；

（2）根据垂直的定义和勾股定理解答即可；

（3）先判断出△GAB≌△CAE，得出∠ABG=∠AEC，进而根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算．

（1）四边形ABCD是垂美四边形.

理由：如图，连接AC，BD，

∵AB=AD，

∴点A在线段BD的垂直平分线上,

∵CB=CD，

∴点C在线段BD的垂直平分线上，

∴直线AC是线段BD的垂直平分线，

∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形；

（2）猜想结论：垂美四边形的两组对边的平方和相等，

如图，

已知四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为E，

求证：AD2+BC2=AB2+CD2

证明：∵AC⊥BD,

∴∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90，

由勾股定理得,AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2，

AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2，

∴AD2+BC2=AB2+CD2；

（3）如图，连接CG、BE，

∵∠CAG=∠BAE=90，

∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE，

在△GAB和△CAE中，

AG=AC∠GAB=∠CAEAB=AE，

∴△GAB≌△CAE，

∴∠ABG=∠AEC,又∠AEC+∠AME=90，

∴∠ABG+∠AME=90，即CE⊥BG，

∴四边形CGEB是垂美四边形，

由(2)得,CG2+BE2=CB2+GE2，

∵AC=4，AB=5，

∴BC=3,CG=4,BE=5，

∴GE2=CG2+BE2 –CB2=73，

∴GE=.