Question

【题目】已知抛物线G1：y=ax2+bx+c的顶点为（2，﹣3），且经过点（4，1）．

（1）求抛物线G1的解析式；
（2）将抛物线G1先向左平移3个单位，再向下平移1个单位后得到抛物线G2 ， 且抛物线G2与x轴的负半轴相交于A点，求A点的坐标；
（3）如果直线m的解析式为 ，点B是（2）中抛物线G2上的一个点，且在对称轴右侧部分（含顶点）上运动，直线n过点A和点B．问：是否存在点B，使直线m、n、x轴围成的三角形和直线m、n、y轴围成的三角形相似？若存在，求出点B的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由抛物线G1：y=ax2+bx+c的顶点为（2，﹣3），且经过点（4，1），

可设抛物线G1：y=a（x﹣2）2﹣3，

把（4，1）代入得：1=4a﹣3，解得：a=1，

所以抛物线G1：y=（x﹣2）2﹣3=x2﹣4x+1

（2）解：抛物线G1：y=（x﹣2）2﹣3先向左平移3个单位，再向下平移1个单位后得到抛物线G2：y=（x+1）2﹣4，

令y=0，得：0=（x+1）2﹣4，解得：x=﹣3，或x=1（舍去），

所以点A（﹣3，0）

（3）解：直线m与x轴，y轴的交点分别为F，E，

当直线n与G2交点在x轴上方时，直线n与x轴，y轴的交点为A，D，与抛物线交点B，与直线m交与点C，

当直线n与G2交点在x轴下方时，直线n1与x轴，y轴的交点为A，H，与抛物线交点B1，与直线m交与点L，

当直线n与G2交点在x轴上方时，如图1：

由题意△CDE∽△CFA，此时有：∠CDE=∠CFA，

直线m的解析式为 ，当x=0时，y=3，当y=0时，x=﹣6，

∴点E（0，3），点F（﹣6，0），

∴OF=6，OE=3，

∴tan∠CDE=tan∠CFA= ，

∴ = ，

∵OA=3，

∴OD=6，

点D（0，6），

设直线n：y=mx+n，把D（0，6），点A（﹣3，0）代入得： ，

解得： ，

∴直线n：y=2x+6，

联立直线n和抛物线G2得： ，

解得：x=3，或x=﹣3（舍去）

此时y=12，

所以：点B（3，12），

当直线n与G2交点在x轴下方时，如图2：

由题意△HLE∽△FLA，此时有：∠ELH=∠FLA=90°，

∠EHA=∠LFA，

直线m的解析式为 ，当x=0时，y=3，当y=0时，x=﹣6，

∴点E（0，3），点F（﹣6，0），

∴OF=6，OE=3，

∴tan∠EHA=tan∠LFA= ，

∴ = ，

∵OA=3，

∴OH=6，

点H（0，﹣6），

设直线n：y=mx+n，把D（0，﹣6），点A（﹣3，0）代入得：

解得： ，

∴直线n：y=﹣2x﹣6，

联立直线n和抛物线G2得： ，

解得：x=﹣1，或x=﹣3（舍去）

此时y=﹣4，

所以：点B1（﹣1，﹣4），

综上所述：存在点B，使直线m、n、x轴围成的三角形和直线m、n、y轴围成的三角形相似，点B的坐标为（3，12）和（﹣1，﹣4）

【解析】（1）把解析式设成顶点式，再把另一点坐标代入解析式;（2）利用抛物线平移法则“左加右减，上加下减”可求出解析式;（3）分类讨论，在上侧和下侧，利用相似的判定定理逆向推理，由相似可推角相等，由角相等可得正切相等，列出方程.