Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=AC，O为BC的中点，AC与半圆O相切于点D．

（1）求证：AB是半圆O所在圆的切线；
（2）若cos∠ABC= ，AB=12，求半圆O所在圆的半径．

Answer 1

【答案】
（1）证明：如图1

，

作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，

∵AB=AC，O为BC的中点，

∴∠CAO=∠BAO．

∵OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，

∴OD=OE，

∵AB经过圆O半径的外端，

∴AB是半圆O所在圆的切线；

（2）解：cos∠ABC= ，AB=12，得

OB=8．

由勾股定理，得

AO= =4 ．

由三角形的面积，得

S△AOB= ABOE= OBAO，

OE= = ，

半圆O所在圆的半径是

【解析】本题考查了切线的判定与性质，利用切线的判定是解题关键，利用面积相等得出关于OE的长是解题关键．（1）根据等腰三角形的性质，可得OA，根据角平分线的性质，可得OE，根据切线的判定，可得答案；（2）根据余弦，可得OB的长，根据勾股定理，可得OA的长，根据三角形的面积，可得OE的长．